Determine os máximos e mínimos das seguintes funções

(d) f x = x - 1 2 x + 1 2   e m   - 2,2 ;

Passo 1

Para determinar os máximos e mínimos da função f x = x - 1 2 x + 1 2 no intervalo - 2,2 , podemos seguir os seguintes passos:

Encontre os pontos críticos da função, que ocorrem quando a derivada é zero ou não existe dentro do intervalo - 2,2 .

Avalie os valores da função nos pontos críticos, nas extremidades do intervalo e em quaisquer pontos onde a derivada mude de sinal para determinar os máximos e mínimos.

Vamos começar com o primeiro passo:

Calcule a derivada da função f ( x ) em relação a x

f ' x = d d x x - 1 2 x + 1 2

f ' x = 2 x - 1 x + 1 2 + 2 x - 1 2 x + 1

f ' x = 4 x x 2 - 1

f ' x = 4 x ( x - 1 ) ( x + 1 )

Igualando a derivada a zero e resolvendo para x :

4 x ( x - 1 ) ( x + 1 )

O ponto crítico é x = - 1 ,   x = 0   e   x = 1 que está dentro do intervalo [ - 2,2 ]

Passo 2

Avalie a função nos pontos críticos, nas extremidades do intervalo e onde a derivada muda de sinal:

Avaliando nos pontos críticos:

f - 1 = ( - 1 - 1 ) 2 - 1 + 1 2 = 0

f 1 = 1 - 1 2 1 + 1 2 = 0

f 0 = 0 - 1 2 0 + 1 2 = 0

Avaliando nas extremidades do intervalo:

f - 2 = - 2 - 1 2 - 2 + 1 2 = 9

f 2 = ( 2 - 1 ) 2 2 + 1 2 = 9

Agora, compare os valores das avaliações para determinar os máximos e mínimos:

O valor mínimo ocorre em x = 2 com f 2 = 9 , x = - 2 com f - 2 = 9

O valor máximo ocorre em x = - 1 ,   x = 0   e   x = 1 , com f - 1 = f 1 = f 0 = 0

Resposta

Portanto, a função f x = x - 1 2 x + 1 2 possui um mínimo local de 9 em x = ± 2 e um máximo local de 0 no ponto x = ± 1   e   x = 0 no intervalo [ - 2,2 ]

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