Determine os máximos e mínimos das seguintes funções

(e) f x = x x 2 + 1   e m   [ 0,3 ]

Passo 1

Para determinar os máximos e mínimos da função f x = x x 2 + 1 no intervalo 0,3 , podemos seguir os seguintes passos:

Encontre os pontos críticos da função, que ocorrem quando a derivada é zero ou não existe dentro do intervalo 0,3 .

Avalie os valores da função nos pontos críticos, nas extremidades do intervalo e em quaisquer pontos onde a derivada mude de sinal para determinar os máximos e mínimos.

Vamos começar com o primeiro passo:

Calcule a derivada da função f ( x ) em relação a x

f ' x = d d x x x 2 + 1

f ' x = x 2 + 1 - x 2 x x 2 + 1 2

f ' x = x 2 + 1 - 2 x 2 x 2 + 1 2

f ' x = 1 - x 2 x 2 + 1 2

Igualando a derivada a zero e resolvendo para x :

1 - x 2 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

O ponto crítico é x = - 1   e   x = 1 que está dentro do intervalo [ 0,3 ]

Passo 2

Avalie a função nos pontos críticos, nas extremidades do intervalo e onde a derivada muda de sinal:

Avaliando nos pontos críticos:

f - 1 = - 1 - 1 2 + 1 2 = - 1 2

f 1 = 1 1 2 + 1 2 = 1 2

Avaliando nas extremidades do intervalo:

f 0 = 0 0 2 + 1 = 0

f 2 = 3 3 2 + 1 = 3 10

Agora, compare os valores das avaliações para determinar os máximos e mínimos:

O valor mínimo ocorre em x = - 1 com f - 1 = - 1 / 2 ,

O valor máximo ocorre em x = 1 , com f 1 = 1 2

Resposta

Portanto, a função f x = x x 2 + 1 possui um mínimo local de - 1 / 2 em x = - 1 e um máximo local de 1 / 2 no ponto x =   1   no intervalo [ 0,3 ] .

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