Determine:

a ) O número real positivo cuja soma com o inverso do seu quadrado seja mínima.

Passo 1

Faaaala galerinha, como vocês estão?

Nessa questão precisamos determinar o número x , tal que:

x ∈ R

x > 0

Cuja soma de x com o inverso do seu quadrado seja mínima.

Ou seja, é como se tivéssemos a função:

f x = x + 1 x 2

E queremos calcular o ponto de mínimo dessa função. Como fazemos isso?

Bom, podemos usar a ideia da derivada. Isto é, fazemos:

f ' x = 0

As soluções dessa equação serão os pontos críticos da função.

E, os pontos críticos que satisfizerem:

f ' ' x > 0

São pontos de mínimo locais. Daí é só ver qual deles (caso tenha mais de um) resulta no menor valor de f 😊

Vem com a gente!

Passo 2

Vamos começar derivando f :

f ' x = x + 1 x 2 '

= 1 + - 2 ⋅ x - 3

Igualando a zero, vem:

1 - 2 x 3 = 0

∴ x 3 = 2

Logo:

x = 2 1 3

Encontramos apenas uma solução. Muito provavelmente esse é o ponto de mínimo da função, mas vamos calcular a segunda derivada para termos certeza!

f ' ' x = 1 - 2 x 3 '

= - 2 ⋅ - 3 x 4

⇒ f ' ' x = 6 x 4

Daí é só substituirmos x = 2 1 3 :

f 2 1 3 = 6 2 4 3 > 0

Como é positivo, já podemos concluir que:

x = 2 1 3

É o número real e positivo cuja soma com o inverso do seu quadrado é mínima.

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

x = 2 1 3

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