Determine:

b ) o ponto da curva y = 2 x   ( x > 0 ) que está mais próximo da origem.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Precisamos calcular qual o ponto ( x , y ) da curva:

y = 2 x

Que está mais próximo da origem.

Ou seja, é o ponto que tem a menor distância até a origem, ponto ( 0,0 ) .

A distância entre ( x , y ) e ( 0,0 ) é dada por:

d = x - 0 2 + y - 0 2

= x 2 + y 2

Como esse ponto pertence à curva y = 2 / x , podemos escrever:

d = x 2 + 2 x 2

Queremos que a distância seja mínima. Mas, se para um ponto ( x 0 , y 0 ) d é mínima, para esse mesmo ponto d 2 também é mínimo.

Assim, queremos calcular o mínimo da função de x :

f x = d 2 = x 2 + 4 x 2

Bom, podemos usar a ideia da derivada. Isto é, fazemos:

f ' x = 0

As soluções dessa equação serão os pontos críticos da função.

E, os pontos críticos que satisfizerem:

f ' ' x > 0

São pontos de mínimo locais. Daí é só ver qual deles (caso tenha mais de um) resulta no menor valor de f 😊

Vem com a gente!

Passo 2

Vamos começar derivando a função f ( x ) :

f ' x = 2 x + 4 ⋅ - 2 ⋅ 1 x 3

Igualando a zero, temos:

2 x - 8 x 3 = 0

∴ 2 x = 8 x 3

x 4 = 4

x = ± 2

Massa! Então, temos duas possíveis soluções.

Passo 3

Para saber qual desses pontos críticos é um ponto de mínimo local, vamos calcular a segunda derivada:

f ' ' x = 2 x - 8 x 3 '

= 2 - 8 ⋅ - 3 ⋅ 1 x 4

f ' ' ( x ) = 2 + 24 x 4

Como x está elevado à quarta potência, independente de substituirmos x = ± 2 , teremos:

f ' ' x > 0

Portanto, ambos se tratam de pontos de mínimo local.

Nesse caso, vamos verificar qual deles nos dá o menor valor para f ( x ) .

f x = x 2 + 4 x 2

f 2 = 2 + 4 2

= 4

Analogamente:

f - 2 = 2 + 4 2

= 4

Ambos os pontos 2 , 2 2 e - 2 ,   - 2 2 estão à mesma distância da origem.

Isso até já era esperado pessoal, devido à simetria da curva y = 2 x com relação à bissetriz dos quadrantes.

Então é isso galera, nossas soluções são:

2 , 2 2

- 2 ,   - 2 2

Prontinho!

Até a próxima 😉

Resposta

2 , 2 2

- 2 ,   - 2 2

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