6. Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os em máximo e mínimo locais:

f x = 2 x 3 - x 2 - 4 x + 1

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nosso objetivo nessa questão é obter e classificar os pontos críticos de f x = 2 x 3 - x 2 - 4 x + 1 .

Lembra como fazemos isso? 😬

Primeiramente para obter os pontos críticos de uma função, temos que derivar a função e igualar a 0 . Assim, os pontos que satisfazerem a equação são nossos pontos críticos.

Já para classificar os pontos que obtemos podemos aplicar o teste da segunda derivada...

Esse teste consiste em obter a derivada de segunda ordem de f e substituir os pontos críticos, assim se f ' ' x 0 > 0 o ponto x 0 é de mínimo, se f ' ' x 0 < 0 o ponto é de máximo, mas se f ' ' x 0 = 0 o ponto é uma inflexão.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de f

f ' x = d 2 x 3 - x 2 - 4 x + 1 d x

Pelo método de derivação polinomial...

f ' x = 6 x 2 - 2 x - 4

Igualando a 0 ...

6 x 2 - 2 x - 4 = 0

Assim, podemos obter os pontos críticos a partir das raízes dessa equação.

6 x 2 - 2 x - 4 = 0 → x 0 = 1 x 1 = - 2 3

Encontramos dois pontos críticos! Legal, né? 😊

Passo 3

Agora vamos derivar f novamente e aplicar o teste da segunda derivada.

f ' ' x = d 6 x 2 - 2 x - 4 d x

f ' ' x = 12 x - 2

Para x 0 = 1 , temos

f ' ' 1 = 12 1 - 2 = 10

Como o resultado foi maior que 0 , então x 0 = 1 é um ponto de mínimo.

Agora para x 1 = - 2 3

f ' ' - 2 3 = 12 - 2 3 - 2 = - 10

Nesse caso o resultado foi menor que 0 , portanto o ponto x 1 é um ponto de máximo.

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

x 0 = 1 é um ponto de mínimo.

x 1 = - 2 3 é um ponto de máximo.

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
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Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)