Determine os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos de máximo de mínimo locais das funções abaixo:

  1. f ( x ) = x 5 - 5 x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos de máximo de mínimo da função f ( x ) = x 5 - 5 x .

Para isso, precisamos saber que descobrimos os pontos críticos derivando a função e igualando a zero para depois analisarmos o valor de cada raiz na função original.

Os intervalos de crescimento e decrescimento são dados analisando a derivada, bem como os pontos de máximo e mínimo.

Vamos devagarinho, certinho? 😉

Passo 2

Bom... descobrindo os pontos críticos, temos:

f ' x = 0 ∴

5 x 4 - 5 = 0 ∴

x = ± 1

Para x = 1 :

f 1 = 1   5 - 5 1 = - 4

Para x = - 1 :

f - 1 = - 1   5 - 5 - 1 = 4

Logo, temos os pontos críticos em - 1 ,   4 e 1 , - 4 .

Passo 3

Agora, para os intervalos de crescimento e decrescimento, temos:

f ' x = 5 x 4 - 5

  • Para x < - 1 temos que f ' x > 0 ;
  • Para - 1 < x < 1 temos que f ' x < 0 ;
  • Para x > 1 1 temos que f ' x > 0 .

Dessa forma, vemos que a função é crescente em - ∞ , - 1 ∪ 1 , ∞ e decrescente em - 1,1 .

Passo 4

Por fim, para os pontos de máximo e mínimo, temos:

Como x = - 1 a função passa de crescente para decrescente, o ponto - 1,4 é de máximo.

E, como ela passa de decrescente para crescente em x = 1 , o ponto 1 , - 4 é de mínimo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Pontos críticos em - 1 ,   4 e 1 , - 4

Função é crescente em - ∞ , - 1 ∪ 1 , ∞ e decrescente em - 1,1

Máximo em - 1 ,   4 e mínimo em 1 , - 4

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