Determine os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos de máximo de mínimo locais das funções abaixo:

h)

v x = ln ⁡ x x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar os pontos críticos, intervalos de crescimento e decrescimento, bem como os pontos de máximo de mínimo da função v x = ln ⁡ x x .

Para isso, precisamos saber que descobrimos os pontos críticos derivando a função e igualando a zero para depois analisarmos o valor de cada raiz na função original.

Os intervalos de crescimento e decrescimento são dados analisando a derivada, bem como os pontos de máximo e mínimo.

Vamos devagarinho, certinho? 😉

Passo 2

Bom... descobrindo os pontos críticos, temos:

v ' x = 1 - ln ⁡ x x 2 ∴

1 - ln ⁡ x x 2 = 0 ∴

x = e

Para x = e :

v e = ln ⁡ e e ∴

v e = 1 e

Logo, temos o ponto crítico em e , 1 e .

Passo 3

Agora, para os intervalos de crescimento e decrescimento, temos:

v ' x = 1 - ln ⁡ x x 2

  • Para x < e temos que v ' x > 0 ;
  • Para x > e temos que v ' x < 0 .

Dessa forma, vemos que a função é crescente em - ∞ , e e decrescente em e , ∞ .

Passo 4

Por fim, para os pontos de máximo e mínimo, temos:

O ponto e , 1 e é de máximo, pois a função passa de crescente para decrescente.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ponto crítico em e , 1 e

Função é crescente em - ∞ , e e decrescente em e , ∞ .

Máximo em e , 1 e

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