Determine os pontos da curva x 2 - y 2 = 4 mais próximos do ponto P = ( 0 ,   2 ) . Calcule a distância mínima.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a distância mínima entre um ponto da curva x 2 - y 2 = 4 e o ponto P ( 0 ,   2 ) . Pra isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:

d = x - x 0 2 + y - y 0 2

Mas pra evitar trabalharmos com raízes mais complicadas, vamos minimizar o quadrado da distância, que vamos chamar de D ( x ) . Assim, para x 0 ,   y 0 = ( 0 ,   2 ) , vamos ter:

D x = x - 0 2 + y - 2 2

Então, vamos derivar essa expressão e igualar o resultado a zero para encontrar o ponto mínimo de D ( x ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar expandindo os produtos da nossa expressão:

D x = x 2 + y 2 - 2 y + 4

Agora substituindo y 2 = x 2 - 4 , temos:

D x = x 2 + x 2 - 4 - 2 x 2 - 4 + 4

D x = 2 x 2 - 2 x 2 - 4

Derivando essa expressão, vamos obter:

D ' x = 4 x - 2 x x 2 - 4

D ' x = 4 x x 2 - 4 - 2 x x 2 - 4

Passo 3

Igualando esse resultado a zero, vamos encontrar os pontos críticos da função:

4 x x 2 - 4 - 2 x x 2 - 4 = 0

4 x x 2 - 4 - 2 x = 0

Colocando 2 x em evidência:

2 x 2 x 2 - 4 - 1 = 0

Logo,

2 x = 0 → x = 0

2 x 2 - 4 - 1 = 0 → x = ± 17 2

Mas x = 0 não nos gera soluções reais na nossa equação. Então, nossos pontos críticos são apenas x = ± 17 2 . Substituindo esse valores em D ( x ) , temos:

D ± 17 2 = 2 ± 17 2 2 - 2 ± 17 2 2 - 4

= 17 2 - 1 = 15 2

Então, a distância é mínima no ponto 17 2 , 15 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

17 2 , 15 2

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)