Determine os pontos de máximo e mínimos locais, e pontos de sela da função

f x ,   y = 3 x 2 y + y 3 - 3 x 2 - 3 y 2 + 2

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função de duas variáveis e pediu pra gente encontrar seus pontos de máximo, mínimo ou ponto de sela. Lembra como a gente faz isso em funções desse tipo?

A gente vai continuar calculando a primeira derivada e igualando a zero para encontrar os pontos críticos, como fazíamos nas funções de uma variável. O que vai mudar vai ser na hora de classificar esses pontos.

Isso porque, nas funções de duas variáveis, o nosso teste da derivada segunda vai consistir em calcular o determinante da matriz hessiana no ponto crítico P 0 e analisar seu sinal. Matriz quem?

A Hessiana, lembra dela? Vai ser essa aqui:

H P 0 = f x x ( P 0 ) f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 ) f y y ( P 0 )

Calculando o determinante, vamos ter uma equação assim:

H P 0 = f x x ( P 0 ) f y y ( P 0 ) - f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 )

Aí dependendo do caso, esse ponto pode ser de máximo, mínimo ou ponto de sela (nem máximo nem mínimo). Se H P 0 > 0 , então P 0 é um ponto de máximo ou mínimo. Aí nós analisamos:

Se f x x P 0 > 0 → P 0 é um ponto de mínimo.

Se f x x P 0 < 0 → P 0 é um ponto de máximo.

H P 0 < 0 → P 0 é ponto de sela

H P 0 = 0 → não se sabe.

Então, vamos lá verificar!

Passo 2

Para a nossa função f x ,   y = 3 x 2 y + y 3 - 3 x 2 - 3 y 2 + 2 , vamos começar calculando a primeira derivada e igualando a zero.

Derivando em relação a x :

f x = 6 x y - 6 x

Derivando agora em relação a y :

f y = 3 x 2 + 3 y 2 - 6 y

Nossos pontos críticos vão estar em:

6 x y - 6 x = 0

3 x 2 + 3 y 2 - 6 y = 0

Da primeira equação, temos:

6 x y - 6 x = 0 →   6 x y = 6 x → y = 1

Substituindo y = 1 na segunda equação, temos:

3 x 2 + 3 ( 1 ) 2 - 6 1 = 0 → x = ± 1

Então, temos pontos críticos em ( 1 ,   1 ) e em ( - 1 ,   1 ) .

Trabalhando agora com a segunda equação, 3 x 2 + 3 y 2 - 6 y = 0 , vamos isolar y :

- 3 y 2 + 6 y = 3 x 2

- y 2 + 2 y = x 2

Supondo x = 0 , temos a equação do segundo grau:

- y 2 + 2 y = 0

Resolvendo por Bhaskara:

y = - 2 ± 4 + 0 - 2 = - 2 ± 2 - 2

Portanto, para x = 0 , temos y = 0 ou y = 2 , que definem os pontos críticos ( 0 ,   0 ) e ( 0 ,   2 ) .

Passo 3

Agora nós vamos calcular as segundas derivadas e aplicar nos pontos críticos.

Derivando f x em relação a x , temos:

f x x = 6 y - 6

Derivando agora f x em relação a y :

f x y = 6 x

Agora vamos derivar f y em relação a y :

f y y = 6 y - 6

E em relação a x :

f y x = 6 x

Passo 4

Agora vamos colocar tudo na equação da Hessiana:

H P 0 = f x x ( P 0 ) f y y ( P 0 ) - f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 )

Mas primeiro, vamos aplicar as derivadas no ponto P 0 = ( 0 ,   0 ) :

f x x P 0 = 6 0 - 6 = - 6

f y y P 0 = 6 0 - 6 = - 6

f x y P 0 = 6 ( 0 ) = 0

f y x = 6 ( 0 ) = 0

Substituindo na equação, temos:

H 0 ,   0 = - 6 ∙ - 6 - 0 ∙ 0 = 36

Como H P 0 > 0 , então P 0 = ( 0 ,   0 ) é um ponto de máximo ou mínimo. Então vamos analisar o sinal de f x x em P 0 . Como temos:

f x x P 0 = - 6 < 0

Então, ( 0 ,   0 ) é um ponto de máximo.

Passo 5

Agora vamos aplicar as derivadas no ponto P 0 = ( 0 ,   2 ) :

f x x P 0 = 6 2 - 6 = 6

f y y P 0 = 6 2 - 6 = 6

f x y P 0 = 6 ( 0 ) = 0

f y x = 6 ( 0 ) = 0

Substituindo na equação, temos:

H 0 ,   2 = 6 ∙ 6 - 0 ∙ 0 = 36

Como H P 0 > 0 , então P 0 = ( 0 ,   0 ) é um ponto de máximo ou mínimo. Então vamos analisar o sinal de f x x em ( 0 ,   2 ) . Como temos:

f x x P 0 = 6 > 0

Então, ( 0 ,   2 ) é um ponto de mínimo.

Passo 6

Agora vamos aplicar as derivadas no ponto P 0 = ( - 1 ,   1 ) :

f x x P 0 = 6 1 - 6 = 0

f y y P 0 = 6 1 - 6 = 0

f x y P 0 = 6 - 1 = - 6

f y x = 6 - 1 = - 6

Substituindo na equação, temos:

H - 1 ,   1 = 0 ∙ 0 - - 6 ∙ - 6 = - 36

Como H - 1 ,   1 < 0 , temos um ponto de sela.

Passo 7

Agora vamos aplicar as derivadas no ponto P 0 = ( 1 ,   1 ) :

f x x P 0 = 6 1 - 6 = 0

f y y P 0 = 6 1 - 6 = 0

f x y P 0 = 6 1 = 6

f y x = 6 1 = 6

Substituindo na equação, temos:

H 1 ,   1 = 0 ∙ 0 - 6 ∙ 6 = - 36

Como H 1 ,   1 < 0 , temos também um ponto de sela.

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

P 0 = 0 ,   0 → p o n t o   d e   m á x i m o

P 0 = 0 ,   2 → p o n t o   d e   m í n i m o

P 0 = 1 ,   1 → p o n t o   d e   s e l a

P 0 = - 1 ,   1 → p o n t o   d e   s e l a

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