Determine os pontos de máximos e mínimos (Local e Global) das funções:

  1. f x = x 1 + x 2
  2. f x = x e - 2 x
  3. f x = s e n   x + c o s c o s   ( x )   ,   x ∈ [ 0 , π ]
  4. f x = x 3 - x 2 3

Passo 1

Falai galerinha do responde ai, bora resolver mais uma?

Para determinar os pontos de máximo e mínimo (local e global) da função f x = s e n   x + c o s c o s   ( x )     no intervalo ,   x ∈ 0 , π ,   podemos seguir os seguintes passos:

Encontrar a derivada primeira da função f ( x ) . A derivada primeira nos dará informações sobre as taxas de variação da função.

Encontrar os pontos críticos no intervalo 0 , π ,   onde a derivada primeira se anula.

Avaliar a função nos extremos do intervalo 0 , π   e nos pontos críticos para determinar os máximos e mínimos locais.

Determinar o máximo e mínimo global.

Passo 2

Agora, aplicando esses passos à função f x = s e n   x + c o s c o s   ( x )     no intervalo ,   x ∈ 0 , π

Encontrar a derivada primeira de f ( x ) :

f ' x = d d x s e n   x + c o s c o s   x  

Usando a regra da soma para derivadas:

f ' x =   c o s x -   s i n x

Agora iremos encontrar os pontos críticos no intervalo 0 , π   onde a derivada primeira se anula:

c o s x -   s i n x =   0

Reorganizando a equação:

c o s c o s   x = s i n s i n   ( x )    

Dividindo ambos os lados por c o s c o s   ( x )   (lembrando que c 0 s ( x ) não pode ser zero no intervalo):

t a n t a n   ( x )   = 1

Isso ocorre quando x = π / 4 no intervalo de [ 0 , π ]

Passo 3

Agora iremos avaliar a função nos extremos do intervalo e no ponto crítico para determinar os máximos e mínimos locais:

a) Para x = 0

f 0 = s i n s i n   ( 0 )   + c o s c o s   ( 0 )   = 0 + 1 = 1

b) Para x = π / 4

f π 4 = s i n s i n   π 4   + c o s c o s   π 4   = 2 2 + 2 2 = 2

c) Para x = π

f π = s i n s i n   ( π )   + c o s c o s   ( π )   = 0 - 1 = - 1

Portanto, no intervalo 0 , π ,   o ponto de máximo local ocorre em x = π / 4 , onde f x = 2 , e o ponto de mínimo local ocorre em x = π onde f x = - 1 .

Passo 4

Determine o máximo e mínimo global:

Para determinar o máximo e mínimo global, comparamos os valores da função nos extremos do intervalo com os valores dos pontos críticos.

- O valor da função em x = 0   é   f 0 = 1

- O valor da função em x = π / 4 é f ( π / 4 ) = 2

- O valor da função em x = π   é   f π = - 1

Portanto, o máximo global ocorre em x = π / 4 , onde f x = 2 , e o mínimo global ocorre em x = π onde f x = - 1 .

Em resumo, no intervalo   [ 0 , π ]

- Ponto de máximo local: x = π / 4 , f x = 2

- Ponto de mínimo local: x = π , f x = - 1 .

- Máximo global: x = π / 4 , f x = 2

- Mínimo global: x = π , f x = - 1 .

Resposta

- Máximo global: x = π / 4 , f x = 2

- Mínimo global: x = π , f x = - 1 .

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