1.3. Determine o valor máximo e o valor mínimo de f na região R sendo

a. f x , y , z = x 2 - 2 x + y 2 - 4 y + z 2 - 6 z e R = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 56 ;

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter os pontos máximos e mínimos da função f x , y , z = x 2 - 2 x + y 2 - 4 y + z 2 - 6 z dentro da região R limitada pela esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 56 .

Parece de boa? 👀

Nesses casos, quando temos que obter os pontos máximos e mínimos podemos seguir uns passos...

Primeiro calculamos os pontos críticos de f normalmente e verificamos se esses pontos estão dentro da região R ... caso eles não estiverem, descartamos.

Depois calculamos os pontos críticos nas bordas da região pelo método de multiplicadores de Lagrange dado por.

∇ f = λ ∇ g

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Analisando a equação que limita R vemos que se trata de uma esfera de raio 56 .

Calculando os pontos críticos de f , temos que em x ...

f x = ∂ x 2 - 2 x + y 2 - 4 y + z 2 - 6 z ∂ x = 2 x - 2

2 x - 2 = 0

x = 1

Agora em y , temos

f y = ∂ x 2 - 2 x + y 2 - 4 y + z 2 - 6 z ∂ y = 2 y - 4

2 y - 4 = 0

y = 2

Por último em z

f z = ∂ x 2 - 2 x + y 2 - 4 y + z 2 - 6 z ∂ z = 2 z - 6

2 z - 6 = 0

z = 3

Portanto encontramos apenas um ponto crítico em f dado por P 1 = 1,2 , 3 , para saber se esse ponto está dentro da região R podemos substitui-lo na equação da esfera

x 2 + y 2 + z 2 ≤ 56 → 1 2 + 2 2 + 3 2 ≤ 56

14 ≤ 56

Como a inequação foi satisfeita, P 1 está incluso no nosso problema.

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos analisar a borda da região R , pra isso, usamos o método de multiplicadores de Lagrange.

f x , y , z = x 2 - 2 x + y 2 - 4 y + z 2 - 6 z

Sabendo que as derivadas parciais de f são dadas por

f x = 2 x - 2

f y = 2 y - 4

f z = 2 z - 6

E as derivadas parciais da restrição g : x 2 + y 2 + z 2 = 56

g x = 2 x

g y = 2 y

g z = 2 z

A equação ∇ f = λ ∇ g será dada por

2 x - 2 ,   2 y - 4 ,   2 z - 6 = λ 2 x , 2 y , 2 z

2 x - 2 = λ 2 x 2 y - 4 = λ 2 y 2 z - 6 = λ 2 z x 2 + y 2 + z 2 ≤ 56 → λ = 2 x - 2 2 x λ = 2 y - 4 2 y λ = 2 z - 6 2 z x 2 + y 2 + z 2 ≤ 56

Igualando es equações duas a duas...

2 x - 2 2 x = 2 y - 4 2 y → 2 x - 2 2 y = 2 y - 4 2 x

x - 1 y = y - 2 x

x y - y = x y - 2 x

y = 2 x

Agora a segunda com a terceira.

2 y - 4 2 y = 2 z - 6 2 z → 2 y - 4 2 z = 2 z - 6 2 y

y - 2 z = z - 3 y

y z - 2 z = y z - 3 y

z = 3 2 y → z = 3 x

Substituindo y e z em função de x na equação da restrição

x 2 + 2 x 2 + 3 x 2 = 56

x 2 + 4 x 2 + 9 x 2 = 56

14 x 2 = 56

x = ± 2

y = ± 4

z = ± 6

Bacana, não é? 😐

Passo 4

Com isso conseguimos encontrar três pontos em que f é extremo dentro da região R

P 1 = 1,2 , 3

P 2 = 2,4 , 6

P 3 = - 2 , - 4 , - 6

Substituindo P 1 em f , temos

f P 1 = 1 2 - 2 1 + 2 2 - 4 2 + 3 2 - 6 3 = - 14

Para P 2

f P 2 = 2 2 - 2 2 + 4 2 - 4 4 + 6 2 - 6 6 = 0

Para P 3

f P 3 = - 2 2 - 2 - 2 + - 4 2 - 4 - 4 + - 6 2 - 6 - 6 = 112

Portanto vemos que o máximo de f é 112 em P 3 = - 2 , - 4 , - 6 e o mínimo é - 14 em P 1 = 1,2 , 3  

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

O máximo de f é 112 em P 3 = - 2 , - 4 , - 6 e o mínimo é - 14 em P 1 = 1,2 , 3

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