Determine:

c ) o valor de x que minimiza a expressão y = x 2 + 1 / x .  

Passo 1

Fala galera, tudo tranquilo?

Precisamos determinar o valor de x que minimiza a função:

f x = x 2 + 1 x

Bom, podemos usar a ideia da derivada. Isto é, fazemos:

f ' x = 0

As soluções dessa equação serão os pontos críticos da função.

E, os pontos críticos que satisfizerem:

f ' ' x > 0

São pontos de mínimo locais. Daí é só ver qual deles (caso tenha mais de um) resulta no menor valor de f 😊

Vem com a gente!

Passo 2

Vamos começar pela primeira derivada:

f ' x = 2 x + - 1 ⋅ 1 x 2

Igualando a zero, vem:

2 x - 1 x 2 = 0

x 3 = 1 2

∴ x = 2 - 1 3

Massa!

Passo 3

Temos apenas uma solução, ou seja, apenas um ponto crítico. Provavelmente esse já é o ponto de mínimo, mas vamos verificar através da segunda derivada, beleza?

f ' ' x = 2 x - 1 x 2 '

= 2 - - 2 ⋅ 1 x 3

∴ f ' ' x = 2 + 2 x 3

Vamos substituir o valor que encontramos como ponto crítico:

f ' ' 2 - 1 3 = 2 + 2 2 - 1 3 3

= 6 > 0

Portanto, de fato 2 - 1 3 é um ponto de mínimo local.

E, como é o único ponto de mínimo, temos que ele também mínimo global.

Logo,

x = 2 - 1 3

É o valor que minimiza a expressão:

y = x 2 + 1 x

Prontinhooo! Curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

x = 2 - 1 3

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