Determine os valores máximo e mínimo (relativos) de f   ( x ,   y )   =   2 y ³   −   3 x ⁴   −   6 x ²   y   +   5 .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão pede para a gente determinar os pontos de máximos e mínimos relativos da função f(x,y). Mas o que é isso, exatamente? Os máximos relativos são pontos de “picos”: localmente, é um ponto onde a função f(x,y) é maior que todos os pontos vizinhos. A definição de mínimo relativo é semelhante: são os chamados “vales”, onde, localmente, a função f(x,y) é menor que todos os seus pontos vizinhos.

E como a gente encontra esses valores? Bem, se uma função contínua cresce até atingir um máximo, a sua derivada antes do ponto é positiva, no ponto ela é nula e, em seguida, negativa, porque a função precisa decrescer a partir daí para que ele tenha sido um máximo! A mesma coisa ocorre com um mínimo, mas com sinal oposto para a derivada: ela é negativa, passa pra nula e em seguida, fica positiva.

Então já deu pra ver que, para calcular os máximos e mínimos vamos precisar derivar a função, né? Então bora lá!

Passo 2

A função f é uma função de duas variáveis, então temos que encontrar os pontos (x,y) onde seus valores são extremizados. Para isso, vamos calcular as suas derivadas parciais e igualá-las a zero, como explicado anteriormente.

Para calcular a derivada parcial de f em relação à x, consideramos y como constante e derivamos:

∂ f ( x , y ) ∂ x = - 12 x ³ - 12 x y

Quando isso é igual a zero, temos

- 12 x ³ - 12 x y = 0 ⇒ x ² = - y

Agora, para calcular as derivada parcial de f em relação à y, consideramos x como constante:

∂ f ( x , y ) ∂ y = 6 y ² - 6 x ²

Igualando isso à zero, obtemos:

6 y ² - 6 x ² = 0 ⇒ y = x

Os pontos (x,y) que satisfazem essas duas equações simultaneamente são: (0,0), (1,-1), (-1,-1).

Agora só precisamos descobrir se esses pontos são pontos de máximo ou de mínimo. Então, vamos substituí-los na nossa função!

Passo 3

Quando inserimos o ponto (0,0) na função, obtemos

f ( 0,0 ) =   2 × 0 ³   −   3 × 0 ⁴   −   6 × 0 ² × 0   +   5 = 5

Então, no ponto (0,0), a função vale 5.

Quando inserimos o ponto (1,-1) na função, obtemos

f ( 1 , - 1 ) =   2 × ( - 1 ) ³   −   3 × 1 ⁴   −   6 × 1 ² × ( - 1 )   +   5 = 6

Semelhantemente, inserindo o ponto (-1,-1) na função, encontramos

f ( - 1 , - 1 ) =   2 × ( - 1 ) ³   −   3 × ( - 1 ) ⁴   −   6 × ( - 1 ) ² × ( - 1 )   +   5 = 6

Então, temos que (0,0), onde a função vale 5, é um ponto de mínimo relativo e, os pontos (1,-1) e (-1,-1), onde a função vale 6, são pontos de máximo relativo.

Resposta

Mínimo relativo = 5, em (0,0)

Máximo relativo = 6, em (1,-1) e (-1, -1)

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