Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.

  1. Todo ponto crítico é um ponto de máximo ou de mínimo local.
  2. Todo ponto de máxima ou mínimo local é um ponto crítico.
  3. Todo ponto de máximo absoluto é um ponto crítico.
  4. Se uma função não possui máximos e mínimos locais então ela não possui pontos críticos.
  5. Se a é um ponto de máximo ou mínimo local e f é diferenciável em a , então a é um ponto crítico.
  6. Se a é um ponto de máximo ou mínimo local, f é diferenciável em a e a é um ponto interior ao domínio de f , então a é um ponto crítico.

Passo 1

E aí, galerinhaaa! Bora relembrar de alguns conceitos importantes que o enunciado pede?

Primeiro, ponto crítico é aquele ponto onde a derivada será igual a zero e ocorre a mudança de direção da nossa curva. Por exemplo, vamos supor que nossa função está crescendo, crescendo, crescendo e aí ela chegou num ponto crítico, ou seja, depois desse ponto crítico, ela começará a ser decrescente.

Isso pode acontecer em vários pontos de uma função, entretanto, quando temos um ponto crítico onde ele tem o maior valor ou menor valor, chamamos de ponto de máximo e mínimo global, respectivamente. Por consequência, todos os outros pontos críticos serão ou de máximo ou mínimo local.

Com isso, bora explicar as questões propostas 😊

Passo 2

  1. Todo ponto crítico é um ponto de máximo ou de mínimo local
  2. Isso é falso, porque como vimos, podemos ter vários pontos críticos em uma função e não necessariamente serão pontos de máximo e mínimo local sempre.

  3. Todo ponto de máxima ou mínimo local é um ponto crítico.
  4. Verdadeiro, pois como vimos um ponto crítico sempre resultará ou em um ponto de máximo/mínimo local ou global.

  5. Todo ponto de máximo absoluto é um ponto crítico.
  6. Verdadeiro, pois todo ponto crítico resultará em um ponto de máximo/mínimo global ou local.

  7. Se uma função não possui máximos e mínimos locais então ela não possui pontos críticos.

Falso, pois como dito no passo (1), podemos ter uma função que apresente apenas um ponto de máximo e/ou mínimos globais. Por exemplo, pegue uma parábola do tipo y = a x 2 + b x + c , sabemos que essa parábola terá concavidade para baixo, ou seja, apresentará apenas um ponto de mínimo e este será um ponto de mínimo global, não possuindo, portanto, um ponto de mínimo local.

A letra (e) e (f) podem ser respondidas juntas. A letra (e) e (f) é verdadeira e falsa, respectivamente. Uma vez que a é um ponto de máximo ou mínimo local, necessariamente f são diferenciáveis nesse ponto, caso contrário, teríamos uma descontinuidade e esse ponto não poderia ser chamado de máximo ou mínimo. Por sua vez, se a for um ponto interior não poderá ser ponto crítico.

Resposta

𝐸xplicação

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x