Dividir o número 120 em duas partes tais que o produto de uma pelo quadrado da outra seja o

maior possível.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente dividir o número 120 em duas partes. Vamos chamar uma das partes de x . Assim, a outra parte será o que restou, ou seja, 120 - x .

Daí, o produto de um desses números pelo quadrado do outro precisa ser o maior possível. Vamos chamar esse produto de P e teremos:

P = x 120 - x 2

Então, vamos usar essa expressão para encontrar o maior valor possível para P . Para isso, vamos derivar essa equação e igualar o resultado a zero. Dessa forma, teremos os candidatos a máximo da função e vamos avaliar qual deles atende ao nosso problema.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar expandindo o produto da nossa função:

P = x 120 - x 2

P = x ( x 2 - 240 x + 14400 )

P = x 3 - 240 x 2 + 14400

Agora vamos derivar P em relação a x :

d P d x = 3 x 2 - 480 x + 14400

Igualando esse resultado a zero:

3 x 2 - 480 x + 14400 = 0

Didividindo todo mundo por 3 pra simplificar, temos:

x 2 - 160 x + 4800 = 0

Fatorando:

x - 120 x - 40 = 0

Pra que esse produto seja verdadeiro um dos termos precisa ser zero. Então, temos:

x - 120 = 0 → x = 120

x - 40 = 0 → x = 40

Essas são as raízes da nossa equação e candidatos a máximo da nossa função. Mas x = 120 não é uma solução possível, porque esse já é o nosso valor total. Então, nosso único resultado possível será x = 40 . Dessa forma, dividiremos o números 120 nas partes:

( 40 ,   120 - 40 )

( 40 ,   80 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

( 40 ,   80 )

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