8. Encontre a distância vertical máxima entre a reta y = x + 2 e a parábola y = x 2 , para - 1 ≤ x ≤ 2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos obter a maior distância vertical possível entre as curvas y = x + 2 e y = x 2 no intervalo de x = - 1 até x = 2 .

Tem alguma ideia de como fazemos isso? 🤔

Para obter a distância vertical entre as funções, vamos criar uma nova função que resulte nessa informação.

Podemos definir essa função como a distância de y 1 para y 2 , ou seja

f x = y 1 - y 2

Se y 1 = x + 2 e y 2 = x 2 , então nossa função é

f x = - x 2 + x + 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

Agora o que temos que fazer é encontrar um máximo ou um mínimo de f dentro do intervalo de x que queremos.

Pra isso, vamos derivar f e igualar a 0 .

f ' x = - 2 x + 1 = 0

x = 1 2

Assim, vemos que em x = 1 2 a função distância possui um ponto crítico.

Assim, calculando as distancias na borda do intervalo e em x = 1 2 , podemos definir qual é a maior distância entre as funções.

Primeiro em x = - 1

f - 1 = - - 1 2 + - 1 + 2

f - 1 = 0

Agora em x = 1 2

f 1 2 = - 1 2 2 + 1 2 + 2

f 1 2 = 9 4

E por fim em x = 2

f 2 = - 2 2 + 2 + 2

f 2 = 0

Portanto, vemos que realmente em x = 1 2 a distância y 1 até y 2 é a maior.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

9 4

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)