Encontre os pontos críticos das seguintes funções:

(c) f c = x + 1 x - 1 2

Passo 1

Para encontrar os pontos críticos da função f c = x + 1 x - 1 2 , precisamos calcular a derivada da função em relação a x ,   igualar a derivada a zero e resolver para os valores de x   onde isso ocorre. Vamos calcular isso passo a passo:

Calcule a derivada da função f ( x ) em relação a x :

f ' x = d d x x + 1 x - 1 2

Usando a regra do quociente e a regra da cadeia, temos:

f ' x = x - 1 2 ⋅ 1 - x + 1 ⋅ 2 x - 1 x - 1 4

f ' x = x - 1 2 - 2 ( x + 1 ) x - 1 x - 1 4

f ' x = ( x 2 - 2 x + 1 ) - ( 2 x 2 - 2 x ) x - 1 4

f ' x = - x 2 + 1 x - 1 4

Passo 2

Igualar a derivada a zero e resolver para x :

- x 2 + 1 = 0

Isso nos dá uma única solução para x :

x 2 = 1

x = ± 1

Portanto, os possíveis pontos críticos estão em x = 1   e   ( x = - 1 )

Passo 3

Para determinar a natureza dos pontos críticos, podemos usar a segunda derivada. Vamos calcular a segunda derivada de f x :

f ' ' x = d 2 d x 2   - x 2 + 1 x - 1 6

Usando as regras de derivação, obtemos:

f ' ' x = - 2 x x - 1 3 - 3 ( - x 2 + 1 ) ( 3 x 2 - 6 x + 3 ) x - 1 4

Simplificando a expressão:

f ' ' x = - 2 x ( x - 1 ) - 3 ( - x 2 + 1 ) ( 3 x 2 - 6 x + 3 ) x - 1 6

Agora, substituindo os valores dos pontos críticos na segunda derivada:

  1. Para x = 1
  2. f ' ' x = - 2 ⋅ 1 ⋅ ( 1 - 1 ) - 3 ( - 1 2 + 1 ) ( 3 ⋅ 1 2 - 6 ⋅ 1 + 3 ) 1 - 1 6

    f ' x = 0

  3. Para ( x = - 1 ) :

f ' ' x = - 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ ( - 1 - 1 ) - 3 ( - - 1 2 + 1 ) ( 3 ⋅ ( - 1 ) 2 - 6 ⋅ ( - 1 ) + 3 ) - 1 - 1 6

f ' x = 0

Passo 4

Ambos os resultados são zero, o que não nos fornece informações claras sobre a concavidade nos pontos críticos.

Dado que a segunda derivada é zero nos pontos críticos, é necessário analisar mais detalhadamente a função e suas características locais para determinar a natureza dos pontos críticos.

Pode ser necessário usar métodos como análise gráfica ou o teste da primeira derivada para concluir sobre a concavidade e identificar pontos de mínimo, máximo ou ponto de inflexão.

Resposta

Vide passo a passo.

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