Encontre os pontos da elipse x 2   +   x y   +   y 2   =   3 mais próximos de (0, 0).

Passo 1

Beleza? Yuri aqui e o que devemos fazer na resolução de hoje é encontrar uma maximização da função de distancia em relação a origem. Os pontos no R 2 são definidos por componentes retangulares em relação ao eixo x e ao eixo y. Assim, a distancia entre um ponto e a origem sempre pode ser obtida por Pitágoras, dizendo que essa distancia R é

R 2 = x 2 + y 2

Passo 2

Beleza, agora temos essa função, vamos montar a relação de LaGrande:

∇ R x , y = λ ∇ E x , y

Em que E x , y = x 2 + x y + y 2 - 3 , a equação da elipse

Passo 3

Precisamos encontrar entao as derivadas parciais da elipse e da função distancia, para formar seus vetores gradientes.

R x = x x 2 + y 2

R y = y x 2 + y 2

Agora vamos encontrar as derivadas parciais da elipse. Derivando E ( x , y ) em relação a x, temos:

E x , y = x 2 + x y + y 2 - 3

E x x , y = 2 x + y

Derivando E ( x , y ) em relação a y, temos:

E x , y = x + 2 y

E o vetor gradiente fica:

∇ E x , y = 2 x + y ,   x + 2 y

Agora com tudo pronto, podemos montar o nosso querido sistema:

x x 2 + y 2 = λ ( 2 x + y ) y x 2 + y 2 = λ ( 2 x + y ) x 2 + x y + y 2 - 3 = 0

Agora reorganizando,

x x 2 + y 2 ∙ y λ = λ ( 2 x + y ) ∙ y λ y x 2 + y 2 ∙ x λ = λ ( 2 x + y ) ∙ x λ x 2 + x y + y 2 - 3 = 0

x x 2 + y 2 ∙ y λ = y ( 2 x + y ) y x 2 + y 2 ∙ x λ = x ( 2 x + y ) x 2 + x y + y 2 - 3 = 0

Agora temos a tarefa de resolver o querido, hehe

y 2 x + y = x x + 2 y

Desenvolvendo melhor

2 x y + y 2 = x 2 + 2 x y

x 2 = y 2

Isso nos diz duas coisas

x = y

x = - y

Passo 4

Colocando essas duas opções na terceira equação,

x 2 + x x + x 2 - 3 = 0

x 2 + x x + x 2 - 3 = 0

x = ± 1

Como nesse momento optamos por x = y

P 0 = ( 1,1 )

P 1 - 1 , - 1

Agora é hora de y = - x

x 2 + x - x + - x 2 - 3 = 0

x 3 = 3

x = ± 3

E como escolhemos y = - x

P 2 3 ,   - 3

E

P 3 - 3 ,   3

Agora iremos jogar na equação da distancia e ver quais são os pontos mais próximos

R = ± 1 2 + ± 1 = 2

R = ± 3 2 + ± 3 2 = 6

Entao os pontos são

1,1   e   ( - 1 , - 1 )

Resposta

1,1   e   ( - 1 , - 1 )

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