1.4. Encontre os pontos de máximo e de mínimo de f em C , sem parametrizar C , quando

b. f x , y , z = x - z e C = x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 = z   e   z = 2 y ;

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos que obter o máximo e mínimo da função f x , y = x - z restrito à curva x 2 + y 2 = z e z = 2 y .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando temos que calcular os máximos e mínimos de uma função com alguma restrição é quase certo que temos que aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Dada uma função f e uma restrição g , podemos dizer que

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Assim, obtendo o valor de λ podemos encontrar uma maneira de obter x e y .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos considerar g = x 2 + y 2 - z , mas como foi dito que z = 2 y , então podemos reescrever g como

g = x 2 + y 2 - 2 y

Da mesma forma fazemos f = x - z , ou seja

f = x - 2 y

Calculando o gradiente de f , temos

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y = ∂ x - 2 y ∂ x , ∂ x - 2 y ∂ y

∇ f = 1 , - 2

Calculando o gradiente de g

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y = ∂ x 2 + y 2 - 2 y ∂ x , ∂ x 2 + y 2 - 2 y ∂ y

∇ g = 2 x , 2 y - 2

Substituindo na equação ∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z e isolando λ em um lado

1 , - 2 = λ 2 x , 2 y - 2

1 = λ 2 x - 2 = λ 2 y - 2 x 2 + y 2 - 2 y = 0 → λ = 1 2 x λ = - 2 2 y - 2 x 2 + y 2 - 2 y = 0

Igualando as duas equações...

1 2 x = 2 2 y - 2 → 4 x = 2 y - 2

y = 2 x + 1

Substituindo na equação de restrição

x 2 + 2 x + 1 2 - 2 2 x + 1 = 0

x 2 + 4 x 2 + 4 x + 1 - 4 x - 2 = 0

5 x 2 = 1

x = ± 1 5

Dessa forma, se y = 2 x + 1 , então

y = ± 2 5 + 1

E consequentemente

z = 2 y → z = 2 ± 2 5 + 1

z = ± 4 5 + 2

Bacana, não é? 😎

Passo 3

Com os valores de x , y e z que encontramos anteriormente sabendo que como z = 2 y , z e y tem o mesmo sinal, temos os seguintes pontos

P 1 = 1 5 ,   2 5 + 1 , 4 5 + 2 , P 2 = - 1 5 ,   2 5 + 1 , 4 5 + 2 , P 3 = 1 5 ,   - 2 5 + 1 , - 4 5 + 2 e P 4 = - 1 5 ,   - 2 5 + 1 , - 4 5 + 2 .

Agora o que temos que fazer é obter as imagens desses pontos que encontramos e verificar qual é o máximo e qual é o mínimo...

f x , y , z = x - z

Para P 1

f P 1 = 1 5 - 4 5 + 2 = - 3 + 2 5 5

Para P 2

f P 2 = - 1 5 - 4 5 + 2 = - 5 + 2 5 5

Para P 3

f P 3 = 1 5 - - 4 5 + 2 = 5 - 2 5 5

Para P 4

f P 4 = - 1 5 - 4 5 + 2 = - 5 + 2 5 5

Assim, vemos que para P 3 = 1 5 ,   - 2 5 + 1 , - 4 5 + 2 a função é máxima e para P 2 = - 1 5 ,   2 5 + 1 , 4 5 + 2 a função é mínima.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Em P 3 = 1 5 ,   - 2 5 + 1 , - 4 5 + 2 a função é máxima e para P 2 = - 1 5 ,   2 5 + 1 , 4 5 + 2 a função é mínima.

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