Encontre todos os pontos de máximos, mínimos ou pontos de sela da função:

f x , y = 1 x 2 + y 2 - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função de duas variáveis e pediu pra gente encontrar seus pontos de máximo, mínimo ou ponto de sela. Lembra como a gente faz isso em funções desse tipo?

A gente vai continuar calculando a primeira derivada e igualando a zero para encontrar os pontos críticos, como fazíamos nas funções de uma variável. O que vai mudar vai ser na hora de classificar esses pontos.

Isso porque, nas funções de duas variáveis, o nosso teste da derivada segunda vai consistir em calcular o determinante da matriz hessiana no ponto crítico P 0 e analisar seu sinal. Matriz quem?

A Hessiana, lembra dela? Vai ser essa aqui:

H P 0 = f x x ( P 0 ) f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 ) f y y ( P 0 )

Calculando o determinante, vamos ter uma equação assim:

H P 0 = f x x ( P 0 ) f y y ( P 0 ) - f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 )

Aí dependendo do caso, esse ponto pode ser de máximo, mínimo ou ponto de sela (nem máximo nem mínimo). Se H P 0 > 0 , então P 0 é um ponto de máximo ou mínimo. Aí nós analisamos:

Se f x x P 0 > 0 → P 0 é um ponto de mínimo.

Se f x x P 0 < 0 → P 0 é um ponto de máximo.

H P 0 < 0 → P 0 é ponto de sela

H P 0 = 0 → não se sabe.

Então, vamos lá verificar!

Passo 2

Para a nossa função f x , y = 1 x 2 + y 2 - 1 , vamos começar calculando a primeira derivada e igualando a zero.

Derivando em relação a x :

f x = - 2 x x 2 + y 2 - 1 2

Derivando agora em relação a y :

f y = - 2 y x 2 + y 2 - 1 2

Igualando a zero, temos:

- 2 x x 2 + y 2 - 1 2 = 0 →   - 2 x = 0 → x = 0

- 2 y x 2 + y 2 - 1 2 = 0 →   - 2 y = 0 → y = 0

Então, o nosso único ponto crítico é P 0 = ( 0,0 ) .

Passo 3

Agora nós vamos calcular as segundas derivadas e aplicar o ponto P 0 = ( 0 ,   0 ) .

Derivando f x em relação a x , temos:

f x x = - 2 ( - 3 x 2 + y 2 - 1 ) x 2 + y 2 - 1 3

Derivando agora f x em relação a y :

f x y = 8 x y x 2 + y 2 - 1 3

Agora vamos derivar f y em relação a y :

f y y = - 2 ( - 3 y 2 + x 2 - 1 ) x 2 + y 2 - 1 3

E em relação a x :

f y x = 8 y x x 2 + y 2 - 1 3

Passo 4

Agora vamos colocar tudo na equação da Hessiana:

H P 0 = f x x ( P 0 ) f y y ( P 0 ) - f x y ( P 0 ) f y x ( P 0 )

Mas primeiro, vamos aplicar as derivadas no ponto P 0 = ( 0 ,   0 ) :

f x x P 0 = - 2 - 3 0 2 + 0 2 - 1 0 2 + 0 2 - 1 3 = 2 - 1 = - 2

f y y P 0 = - 2 - 3 0 2 + 0 2 - 1 0 2 + 0 2 - 1 3 = 2 - 1 = - 2

f x y P 0 = 8 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 - 1 3 = 0 - 1 = 0

f y x = 8 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 - 1 3 = 0 - 1 = 0

Substituindo na equação, temos:

H P 0 = - 2 - 2 - 0 ∙ 0

H P 0 = 4

Como H P 0 > 0 , então P 0 = ( 0 ,   0 ) é um ponto de máximo ou mínimo. Então vamos analisar o sinal de f x x em P 0 . Como temos:

f x x P 0 = - 2 < 0

Então, P 0 é um ponto de máximo.

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

P 0 = 0 ,   0 → p o n t o   d e   m á x i m o

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)