Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

Parte 1: determine os pontos de máximos, mínimos, inflexão, bem como os intervalos das concavidades

Parte 2: determine as assíntotas (quando existirem) e o esboço do gráfico.

c )   f x = 2 x 2 + 3 x - 8 x + 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 2 x 2 + 3 x - 8 x + 2

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = 2 x 2 + 3 x - 8 x + 2

f ' x = 2 x 2 + 8 x + 14 x + 2 2

E onde ela é zero

f ' x = 0

2 x 2 + 8 x + 14 = 0

Beleza? Para essa equação não temos raízes reais! Isso significa que não temos ponto onde a derivada é zero, a função derivada é sempre positiva! Isso significa que a função f ( x ) é sempre crescente!

Assim o intervalo de crescimento são todos os reais! Apenas precisamos dividir esse intervalo em - 2 , pois ali temos que a função é descontínua

  • Crescente: - ∞ , - 2 )   e   ( - 2 , + ∞
  • Passo 3

    Agora vamos analisar a derivada segunda:

    f ' x = 2 x 2 + 8 x + 14 x + 2 2

    f ' ' x = - 12 x + 2 3

    Agora vamos analisar onde ela troca de sinal! É apenas em torno da descontinuidade x = - 2

    f ' ' - 2 - < 0

    f ' ' - 2 + > 0

    Temos aqui os intervalos de concavidade da função:

    • Côncava para cima: - 2 , + ∞
    • Côncava para baixo: ( - ∞ , - 2 )

    E é isso! Até a parte dois!

    Resposta

  • Crescente: - ∞ , - 2 )   e   ( - 2 , + ∞
  • Côncava para cima: - 2 , + ∞
  • Côncava para baixo: ( - ∞ , - 2 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)