Esboce o gráfico de y = x 3 - 5 x 2 + 10 , com x ∈ [ - 1 ,   6 ] . Quais são os valores máximos e mínimos globais desta função?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... para esboçar o gráfico de y = x 3 - 5 x 2 + 10 , com x ∈ [ - 1 ,   6 ] primeiramente precisamos encontrar os valores críticos, onde a derivada da função é igual a zero.

Em seguida, determinamos os pontos de inflexão e analisamos o comportamento da função nos extremos do intervalo.

Com isso, encontraremos os valores máximos e mínimos globais desta função.

Agora vamos lá aplicar!!

😉

Passo 2

Sabemos que a derivada da função é dada por:

y ' = 3 x 2 - 10 x

Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:

3 x 2 - 10 x = 0 ∴

x 3 x - 10 = 0 ∴

x = 0 ou x = 10 3

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores de y correspondentes:

y 0 = 0 3 - 5 * 0 2 + 10

y 0 = 10

E

y 10 3 = 10 3 3 - 5 10 3 2 + 10

y 10 3 = - 230 27

Assim, os pontos 0,10 e 10 3 , - 230 27 são os valores onde a derivada irá mudar de sinal.

A partir disso, plotando os pontos, temos:

Passo 4

Assim, levando em conta que estamos estudando uma função cúbica e que o sinal que acompanha x 3 é positivo, então temos o seguinte gráfico:

Assim, para o intervalo x ∈ [ - 1 ,   6 ] temos que o máximo global é o ponto A e o mínimo global é o ponto B .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Máximo e mínimo globais em 0,10 e 10 3 , - 230 27

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