2. Esboce os gráficos das funções abaixo indicando: o domínio; as assíntotas, caso existam; os intervalos de crescimento e decrescimento; os extremos relativos e absolutos, caso existam; os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo; os pontos de inflexão, caso existam.

(b) f x = x 3 x - 1 2

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dado uma função f x e nosso objetivo é esboçar o gráfico de f , o domínio, as assíntotas, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos e absolutos, os intervalos onde a função tem concavidade positiva e negativa e também os pontos de inflexão.

Pouca coisa, né? Graças a Deus! Tem ideia de como fazer tudo isso? 😐

O domínio da função é nada mais que os possíveis valores que x pode assumir em f para que f seja definida.

Para calcular as assíntotas, fazemos o limite de f para x → ∞ e x → - ∞ , se os resultados forem iguais, temos uma assíntota horizontal em y . Agora para as assíntotas verticais fazemos o limite de f para x tendendo ao ponto onde f é indefinido.

Já a partir da derivada de f , podemos obter os intervalos onde f é crescente f ' > 0 e decrescente f ' < 0 . Também fazendo f ' = 0 podemos obter os pontos críticos onde podemos descobrir quais são de máximo, de mínimo ou de inflexão.

Muita coisa, não é? Bora começar! 👀

Passo 2

A função dada é

f x = x 3 x - 1 2

Perceba que a função se trada de uma fração onde no numerador temos x 3 e no denominador x - 1 2 .

No numerador não temos restrição alguma pra x , porém no denominador de qualquer fração sabemos que não podemos ter 0 , logo, para nossa função temos que

x - 1 ≠ 0

x ≠ 1

Dessa forma, o domínio de f é dado por

D o m f = f x ∈ R 2 x ≠ 1

Agora para verificar a existência de assíntotas horizontais, fazemos

lim x → ± ∞ ⁡ x 3 x - 1 2

Se aplicarmos x = ∞ diretamente, vamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ , então podemos aplicar a regra de L’Hopital e derivar o numerador e o denominador...

lim x → ± ∞ ⁡ d x 3 d x   d x - 1 2 d x → lim x → ± ∞ ⁡ 3 x 2   2 x - 2

Aplicando a regra novamente...

lim x → ± ∞ ⁡ d 3 x 2   d x d 2 x - 2 d x → lim x → ± ∞ ⁡ 6 x 2

Dessa forma, temos

lim x → + ∞ ⁡ f x = ∞ lim x → - ∞ ⁡ f x = - ∞

Já para assíntotas verticais temos

lim x → 1 ⁡ x 3 x - 1 2

Quando x tende a 1 , o numerador tende a um número muito pequeno, muito próximo de 0 , assim quando temos um número relativamente grande sendo dividido por um número muito pequeno o resultado é um número tão grande que se aproxima de , assim, podemos dizer que

lim x → 1 ⁡ x 3 x - 1 2 = ∞

Dessa forma, em x = 1 temos uma assíntota vertical!

Logo, não há assíntotas horizontais, mas há uma assíntota vertical em x = 1 ...

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de f x para determinar os outros resultados.

Pela regra do quociente, temos

f ' x = d x 3 x - 1 2 d x = d x 3 d x · x - 1 2 - x 3 · d x - 1 2 d x x - 1 2 2

f ' x = 3 x 2 · x - 1 2 - x 3 · 2 x - 2 x - 1 4

f ' x = 3 x 2 x - 1 2 - 2 x 4 + 2 x 3 x - 1 4

A partir dessa derivada, podemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f x , os extremos relativos, os pontos críticos e os intervalos de concavidade de f .

Fazendo f ' x = 0 , encontramos os pontos críticos, como

3 x 2 x - 1 2 - 2 x 4 + 2 x 3 x - 1 4 = 0

Simplificando...

3 x 2 x - 1 2 - 2 x 4 + 2 x 3 = 0

3 x 2 x 2 - 2 x + 1 - 2 x 4 + 2 x 3 = 0

3 x 4 - 6 x 3 + 3 x 2 - 2 x 4 + 2 x 3 = 0

x 4 - 4 x 3 + 3 x 2 = 0

Colocando x 2 em evidência...

x 2 x 2 - 4 x + 3 = 0

x = 0 x = 3 x = 1

Porém sabemos que em x = 1 temos uma assíntota vertical, então f não é definida nesse ponto.

A partir desses pontos, podemos usar o teste da segunda derivada para descobrir qual é ponto de máximo, qual é ponto de mínimo e qual é ponto de inflexão.

Se f ' ' x 0 > 0 o ponto x 0 é ponto de mínimo, mas se f ' ' x 0 < 0 o ponto x 0 é ponto de máximo e se f ' ' x 0 = 0 , o ponto x 0 é de inflexão...

Vamos calcular a segunda derivada de f !

f ' ' x = d 3 x 2 x - 1 2 - 2 x 4 + 2 x 3 x - 1 4 d x = d x 4 - 4 x 3 + 3 x 2 x - 1 4 d x

Novamente pela regra do quociente...

f ' ' x = d x 4 - 4 x 3 + 3 x 2 d x · x - 1 4 - x 4 - 4 x 3 + 3 x 2 · d x - 1 4 d x x - 1 4 2

f ' ' x = 4 x 3 - 12 x 2 + 6 x x - 1 4 - x 4 - 4 x 3 + 3 x 2 4 x - 1 3 x - 1 6

Substituindo x = 0

f ' ' 0 = 4 0 3 - 12 0 2 + 6 0 0 - 1 4 - 0 4 - 4 0 3 + 3 0 2 4 0 - 1 3 0 - 1 6

f ' ' 0 = 0

Portanto em x = 0 temos um ponto de inflexão!

Agora vemos como é x = 3

f ' ' 3 = 4 3 3 - 12 3 2 + 6 3 3 - 1 4 - 3 4 - 4 3 3 + 3 3 2 4 3 - 1 3 3 - 1 6

f ' ' 3 = 18 16 - 0 32 64

f ' ' 3 = 9 2

Como f ' ' 3 > 0 , então x = 3 é um ponto de mínimo local!

Legal, né? 😐

Passo 4

A partir dessas informações que obtemos até agora, podemos afirmar que nos intervalos x ∈ ] - ∞ , 1 [ e [ 3 , ∞ [ a função f é crescente e entre x ∈   ] 1,3 ] a função f é decrescente.

Como o ponto de inflexão é o ponto que separa as concavidades da função, ou seja, para x < 0 , a função possui concavidade negativa, enquanto para x > 0 a função possui concavidade positiva...

Com isso, temos muitas informações para esboçar o gráfico da função como...

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

D o m f = f x ∈ R 2 x ≠ 1

Não há assíntotas horizontais, mas há uma assíntota vertical em x = 1 .

x = 0 : ponto de inflexão

x = 3 : ponto mínimo.

x ∈   ] - ∞ , 1 [ e x ∈   ] 3 , ∞ [ a função f é crescente e entre x ∈   ] 1,3 [ a função f é decrescente.

Para x < 0 , a função possui concavidade negativa, enquanto para x > 0 a função possui concavidade positiva.

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x