2. Esboce os gráficos das funções abaixo indicando: o domínio; as assíntotas, caso existam; os intervalos de crescimento e decrescimento; os extremos relativos e absolutos, caso existam; os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo; os pontos de inflexão, caso existam.

(c) f x = 2 x 9 - x 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema foi dado uma função f x e nosso objetivo é esboçar o gráfico de f , o domínio, as assíntotas, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos e absolutos, os intervalos onde a função tem concavidade positiva e negativa e também os pontos de inflexão.

Pouca coisa, né? Graças a Deus! Tem ideia de como fazer tudo isso? 😐

O domínio da função é nada mais que os possíveis valores que x pode assumir em f para que f seja definida.

Para calcular as assíntotas, fazemos o limite de f para x → ∞ e x → - ∞ , se os resultados forem iguais, temos uma assíntota horizontal em y . Agora para as assíntotas verticais fazemos o limite de f para x tendendo ao ponto onde f é indefinido.

Já a partir da derivada de f , podemos obter os intervalos onde f é crescente f ' > 0 e decrescente f ' < 0 . Também fazendo f ' = 0 podemos obter os pontos críticos onde podemos descobrir quais são de máximo, de mínimo ou de inflexão.

Muita coisa, não é? Bora começar! 👀

Passo 2

A função dada é

f x = 2 x 9 - x 2

Perceba que a função se trada de uma fração onde no numerador temos 2 x e no denominador 9 - x 2 .

No numerador não temos restrição alguma pra x , porém no denominador de qualquer fração sabemos que não podemos ter 0 , logo, para nossa função temos que

9 - x 2 ≠ 0

x 2 ≠ 9

x ≠ ± 3

Dessa forma, o domínio de f é dado por

D o m f = f x ∈ R 2 x ≠ ± 3

Agora para verificar a existência de assíntotas horizontais, fazemos

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x 9 - x 2

Se aplicarmos x = ∞ diretamente, vamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ , então podemos aplicar a regra de L’Hopital e derivar o numerador e o denominador...

lim x → ± ∞ ⁡ d 2 x d x   d 9 - x 2 d x → lim x → ± ∞ ⁡ 2   - 2 x = lim x → ± ∞ ⁡ - 1   x

Dessa forma, temos um número relativamente pequeno sendo dividido por um número muito grande, ou seja, o resultado tende a 0

lim x → + ∞ ⁡ f x = 0 lim x → - ∞ ⁡ f x = 0

Já para assíntotas verticais temos

lim x → ± 3 ⁡ 2 x 9 - x 2

Quando x tende a 3 , o numerador tende a um número muito pequeno, muito próximo de 0 , assim quando temos um número relativamente grande sendo dividido por um número muito pequeno o resultado é um número tão grande que se aproxima de , assim, podemos dizer que

lim x → 3 ⁡ 2 x 9 - x 2 = D i v e r g e lim x → - 3 ⁡ 2 x 9 - x 2 = D i v e r g e

Dessa forma, em x = 3 e em x = - 3 temos assíntotas verticais!

Logo, em y = 0 temos uma assíntota horizontal e assíntotas verticais em x = 3 e x = - 3 ...

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de f x para determinar os outros resultados.

Pela regra do quociente, temos

f ' x = d 2 x 9 - x 2 d x = d 2 x d x · 9 - x 2 - 2 x · d 9 - x 2 d x 9 - x 2 2

f ' x = 2 · 9 - x 2 - 2 x · - 2 x 9 - x 2 2

f ' x = 18 + 2 x 2 9 - x 2 2

A partir dessa derivada, podemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f x , os extremos relativos, os pontos críticos e os intervalos de concavidade de f .

Fazendo f ' x = 0 , encontramos os pontos críticos, como

18 + 2 x 2 9 - x 2 2 = 0

Simplificando...

18 + 2 x 2 = 0

x 2 = - 9

Perceba que não é possível elevar um número ao quadrado (dentro dos números reais) e resultar um número negativo.

Dessa forma, não temos pontos de máximos, mínimos e nem pontos de inflexão já que não temos pontos críticos...

Legal, né? 😐

Passo 4

A partir dessas informações que obtemos até agora, podemos afirmar que em x ∈ R a função f é crescente.

Com isso, temos muitas informações para esboçar o gráfico da função como...

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

D o m f = f x ∈ R 2 x ≠ ± 3

Em y = 0 temos uma assíntota horizontal e assíntotas verticais em x = 3 e x = - 3 .

f x não possui pontos críticos.

x ∈ R a função f é crescente.

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x