2. Esboce os gráficos das funções abaixo indicando: o domínio; as assíntotas, caso existam; os intervalos de crescimento e decrescimento; os extremos relativos e absolutos, caso existam; os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo; os pontos de inflexão, caso existam.

(d) f x = 1 - x x + 2 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dado uma função f x e nosso objetivo é esboçar o gráfico de f , o domínio, as assíntotas, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos e absolutos, os intervalos onde a função tem concavidade positiva e negativa e também os pontos de inflexão.

Pouca coisa, né? Graças a Deus! Tem ideia de como fazer tudo isso? 😐

O domínio da função é nada mais que os possíveis valores que x pode assumir em f para que f seja definida.

Para calcular as assíntotas, fazemos o limite de f para x → ∞ e x → - ∞ , se os resultados forem iguais, temos uma assíntota horizontal em y . Agora para as assíntotas verticais fazemos o limite de f para x tendendo ao ponto onde f é indefinido.

Já a partir da derivada de f , podemos obter os intervalos onde f é crescente f ' > 0 e decrescente f ' < 0 . Também fazendo f ' = 0 podemos obter os pontos críticos onde podemos descobrir quais são de máximo, de mínimo ou de inflexão.

Muita coisa, não é? Bora começar! 👀

Passo 2

A função dada é

f x = 1 - x x + 2 2

Perceba que a função se trada de uma fração onde no numerador temos x e no denominador x + 2 2 .

No numerador não temos restrição alguma pra x , porém no denominador de qualquer fração sabemos que não podemos ter 0 , logo, para nossa função temos que

x + 2 ≠ 0

x ≠ - 2

Dessa forma, o domínio de f é dado por

D o m f = f x ∈ R 2 x ≠ - 2

Agora para verificar a existência de assíntotas horizontais, fazemos

lim x → ± ∞ ⁡ 1 - x x + 2 2 = lim x → ± ∞ ⁡ 1 - lim x → ± ∞ ⁡ x x + 2 2

Se aplicarmos x = ∞ diretamente, vamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ , então podemos aplicar a regra de L’Hopital e derivar o numerador e o denominador...

lim x → ± ∞ ⁡ d x d x   d x + 2 2 d x → lim x → ± ∞ ⁡ 1 2 x + 4

Dessa forma, temos

lim x → ± ∞ ⁡ 1 - x x + 2 2 = lim x → ± ∞ ⁡ 1 - lim x → ± ∞ ⁡ 1 2 x + 4

lim x → ± ∞ ⁡ 1 - x x + 2 2 = 1 - 0

lim x ��� + ∞ ⁡ f x = 1 lim x → - ∞ ⁡ f x = 1

Já para assíntotas verticais temos

lim x → - 2 ⁡ 1 - x x + 2 2

Quando x tende a 1 , o numerador tende a um número muito pequeno, muito próximo de 0 , assim quando temos um número relativamente grande sendo dividido por um número muito pequeno o resultado é um número tão grande que se aproxima de , assim, podemos dizer que

lim x → - 2 ⁡ 1 - x x + 2 2 = ∞

Dessa forma, em x = - 2 temos uma assíntota vertical!

Logo, em y = 1 temos uma assíntota horizontal e uma assíntota vertical em x = - 2 ...

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de f x para determinar os outros resultados.

Pela regra do quociente, temos

f ' x = d 1 - x x + 2 2 d x = d 1 d x - d x x + 2 2 d x

f ' x = 0 - d x d x · x + 2 2 - x · d x + 2 2 d x x + 2 2 2

f ' x = - 1 · x 2 + 4 x + 4 - x · 2 x + 4 x + 2 4

f ' x = x 2 - 4 x + 2 4

A partir dessa derivada, podemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f x , os extremos relativos, os pontos críticos e os intervalos de concavidade de f .

Fazendo f ' x = 0 , encontramos os pontos críticos, como

x 2 - 4 x + 2 4 = 0

Simplificando...

x 2 - 4 = 0

x 2 = 4

x = 2 x = - 2

Mas como a função em x = - 2 não é definida, podemos ignorar esse ponto.

A partir desses pontos, podemos usar o teste da segunda derivada para descobrir qual é ponto de máximo, qual é ponto de mínimo e qual é ponto de inflexão.

Se f ' ' x 0 > 0 o ponto x 0 é ponto de mínimo, mas se f ' ' x 0 < 0 o ponto x 0 é ponto de máximo e se f ' ' x 0 = 0 , o ponto x 0 é de inflexão...

Vamos calcular a segunda derivada de f !

f ' ' x = d x 2 - 4 x + 2 4 d x

Novamente pela regra do quociente...

f ' ' x = d x 2 - 4 d x · x + 2 4 - x 2 - 4 · d x + 2 4 d x x + 2 4 2

f ' ' x = 2 x x + 2 4 - x 2 - 4 4 x + 2 3 x + 2 6

Substituindo x = 2

f ' ' 2 = 2 2 2 + 2 4 - 2 2 - 4 4 2 + 2 3 2 + 2 6

f ' ' 2 = 1024 - 0 4096

f ' ' 2 = 1 / 4

Portanto em x = 2 temos um ponto de mínimo!

Legal, né? 😐

Passo 4

A partir dessas informações que obtemos até agora, podemos afirmar que nos intervalos x ∈ ] - ∞ , - 2 [ e [ 2 , ∞ [ a função f é crescente e entre x ∈   ] - 2 , 2 ] a função f é decrescente.

Com isso, temos muitas informações para esboçar o gráfico da função como...

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

D o m f = f x ∈ R 2 x ≠ - 2

Em y = 1 temos uma assíntota horizontal e uma assíntota vertical em x = - 2 .

x = 2 é um ponto de mínimo.

x ∈   ] - ∞ , - 2 [ e x ∈   ] 2 , ∞ [ a função f é crescente e entre x ∈   ] - 2,2 [ a função f é decrescente.

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x