2. Esboce os gráficos das funções abaixo indicando: o domínio; as assíntotas, caso existam; os intervalos de crescimento e decrescimento; os extremos relativos e absolutos, caso existam; os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo; os pontos de inflexão, caso existam.

(e) f x = x x - 1 2 ,     x < 1 x 2 - 1 ,     x ≥ 1

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dado uma função f x e nosso objetivo é esboçar o gráfico de f , o domínio, as assíntotas, os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos e absolutos, os intervalos onde a função tem concavidade positiva e negativa e também os pontos de inflexão.

Pouca coisa, né? Graças a Deus! Tem ideia de como fazer tudo isso? 😐

O domínio da função �� nada mais que os possíveis valores que x pode assumir em f para que f seja definida.

Para calcular as assíntotas, fazemos o limite de f para x → ∞ e x → - ∞ , se os resultados forem iguais, temos uma assíntota horizontal em y . Agora para as assíntotas verticais fazemos o limite de f para x tendendo ao ponto onde f é indefinido.

Já a partir da derivada de f , podemos obter os intervalos onde f é crescente f ' > 0 e decrescente f ' < 0 . Também fazendo f ' = 0 podemos obter os pontos críticos onde podemos descobrir quais são de máximo, de mínimo ou de inflexão.

Muita coisa, não é? Bora começar! 👀

Passo 2

A função dada é

f x = x x - 1 2 ,     x < 1 x 2 - 1 ,     x ≥ 1

f é definida por partes, então vamos analisar cada parte separadamente

Perceba que a função se trada de uma fração onde no numerador temos x e no denominador x - 1 2 quando x < 1 .

No numerador não temos restrição alguma pra x , porém no denominador de qualquer fração sabemos que não podemos ter 0 , logo, para nossa função temos que

x - 1 ≠ 0

x ≠ 1

Dessa forma, o domínio de f é dado por

D o m f = f x ∈ R 2 x ≠ 1

Agora para verificar a existência de assíntotas horizontais, fazemos

lim x → - ∞ ⁡ x x - 1 2

Se aplicarmos x = ∞ diretamente, vamos cair em uma indeterminação ∞ / ∞ , então podemos aplicar a regra de L’Hopital e derivar o numerador e o denominador...

lim x → - ∞ ⁡ d x d x   d x - 1 2 d x → lim x → - ∞ ⁡ 1   2 x - 2 = 0

Agora para x → ∞ temos que usar a função x 2 - 1

lim x → ∞ ⁡ x 2 - 1 = ∞

Logo, temos

lim x → + ∞ ⁡ f x = ∞ lim x → - ∞ ⁡ f x = 0

Já para assíntotas verticais temos

lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 2

Quando x tende a 1 , o numerador tende a um número muito pequeno, muito próximo de 0 , assim quando temos um número relativamente grande sendo dividido por um número muito pequeno o resultado é um número tão grande que se aproxima de , assim, podemos dizer que

lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 2 = ∞

Dessa forma, em x = 1 temos uma assíntota vertical!

Logo, em y = 0 temos uma assíntota horizontal e há uma assíntota vertical em x = 1 ...

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de f x para determinar os outros resultados.

Pela regra do quociente, temos

f ' x = d x x - 1 2 d x = d x d x · x - 1 2 - x · d x - 1 2 d x x - 1 2 2

f ' x = 1 · x - 1 2 - x · 2 x - 2 x - 1 4

f ' x = x 2 - 2 x + 1 - 2 x 2 + 2 x x - 1 4

f ' x = - x 2 + 1 x - 1 4

A partir dessa derivada, podemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f x , os extremos relativos, os pontos críticos e os intervalos de concavidade de f .

Fazendo f ' x = 0 , encontramos os pontos críticos, como

- x 2 + 1 x - 1 4 = 0

Simplificando...

- x 2 + 1 = 0

x 2 = 1

x = - 1 x = 1

Porém sabemos que em x = 1 temos uma assíntota vertical, então f não é definida nesse ponto.

A partir desses pontos, podemos usar o teste da segunda derivada para descobrir qual é ponto de máximo, qual é ponto de mínimo e qual é ponto de inflexão.

Se f ' ' x 0 > 0 o ponto x 0 é ponto de mínimo, mas se f ' ' x 0 < 0 o ponto x 0 é ponto de máximo e se f ' ' x 0 = 0 , o ponto x 0 é de inflexão...

Vamos calcular a segunda derivada de f !

f ' ' x = d - x 2 + 1 x - 1 4 d x

Novamente pela regra do quociente...

f ' ' x = d - x 2 + 1 d x · x - 1 4 - - x 2 + 1 · d x - 1 4 d x x - 1 4 2

f ' ' x = - 2 x x - 1 4 - - x 2 + 1 4 x - 1 3 x - 1 6

Substituindo x = 0

f ' ' - 1 = - 2 - 1 - 1 - 1 4 - - - 1 2 + 1 4 - 1 - 1 3 - 1 - 1 6

f ' ' - 1 = 32 - 0 64

f ' ' - 1 = 1 2

Portanto em x = - 1 temos um ponto de mínimo!

Para a outra parte de f , temos x 2 - 1 e para x ≥ 1 sabemos como f se comporta e para esse intervalo, f não possui pontos críticos já que f é estritamente crescente.

Legal, né? 😐

Passo 4

A partir dessas informações que obtemos até agora, podemos afirmar que nos intervalos x ∈ R a função f é crescente.

Com isso, temos muitas informações para esboçar o gráfico da função como...

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

D o m f = f x ∈ R 2 x ≠ 1

Em y = 0 temos uma assíntota horizontal e há uma assíntota vertical em x = 1 .

x = - 1 é um ponto de mínimo.

x ∈ R a função f é crescente.

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x