Estude máximos e mínimos locais de:

f x = x 3 - 3 x 2 + 3

Passo 1

E aí gente, tudo na paz?

Nessa questão precisamos estudar os pontos de máximo e de mínimo locais da função:

f x = x 3 - 3 x 2 + 3

Para fazer isso vamos usar a ideia da primeira derivada, pois os pontos críticos de uma função são aqueles que satisfazem:

f ' x = 0

Esses pontos podem ser de máximo, mínimo ou inflexão. Para que seja um ponto de máximo deve valer:

f ' ' x < 0

Para ser um ponto de mínimo, deve obedecer:

f ' ' x > 0

Agora que já sabemos disso, vamos nessa!

Passo 2

Começando pela primeira derivada, temos:

f ' x = 3 x 2 - 6 x

Queremos encontrar os valores que satisfazem f ' x = 0 . Daí:

3 x 2 - 6 x = 0

3 x 2 = 6 x

Daí, temos duas soluções:

x = 0

x = 2

Esses dois pontos são pontos críticos de f ( x ) .

Para verificar se trata de ponto de máximo, mínimo ou inflexão, vamos calcular a segunda derivada desses pontos.

f ' ' x = 3 x 2 - 6 x '

= 6 x - 6

Se x = 0 , temos:

f ' ' 0 = - 6 < 0

Logo, x = 0 é um ponto de máximo local.

Se x = 2 , temos:

f ' ' 2 = 6 ⋅ 2 - 6

∴ f ' ' 2 = 6 > 0

Portanto, x = 2 é um ponto de mínimo local.

Prontinho galera! Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

x = 0 → p o n t o   d e   m á x i m o

x = 2 → p o n t o   d e   m í n i m o

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