Estude máximos e mínimos locais de:

g x = s e n x + c o s ⁡ ( x )

Passo 1

E aí gente, tudo na paz?

Nessa questão precisamos estudar os pontos de máximo e de mínimo locais da função:

g x = s e n x + c o s ⁡ ( x )

Para fazer isso vamos usar a ideia da primeira derivada, pois os pontos cr��ticos de uma função são aqueles que satisfazem:

g ' x = 0

Esses pontos podem ser de máximo, mínimo ou inflexão. Para que seja um ponto de máximo deve valer:

g ' ' x < 0

Para ser um ponto de mínimo, deve obedecer:

g ' ' x > 0

Agora que já sabemos disso, vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada de g . Temos:

g ' x = s e n x ' + cos ⁡ x '

= cos ⁡ x - s e n ( x )

Como queremos encontrar os pontos críticos, deve valer que:

g ' x = 0

∴ cos ⁡ x - s e n x = 0

Logo:

s e n x = cos ⁡ x

Temos duas soluções:

cos ⁡ x = 0

s e n x cos ⁡ x = t g x = 1

A solução da primeira equação é:

x = ( 2 k + 1 ) π 2 ,     k ∈ Z

Já a solução da segunda equação é:

x = π 4 + k π ,     k ∈ Z

Massa! Esses são pontos críticos!

Passo 3

Agora precisamos determinar se esses pontos críticos são de máximo, mínimo ou inflexão.

Para isso vamos calcular a segunda derivada:

f ' ' x = cos ⁡ x - s e n x '

f ' ' ( x ) = - s e n x - c o s ⁡ ( x )

Para a solução:

x = 2 k + 1 π 2 ,     k ∈ Z

Temos:

cos ⁡ x = 0

∴ f ' ' x = - s e n ( x )

Assim, temos dois casos:

s e n x = 1 → f ' ' x < 0

𝒙= 𝝅𝟐   x = π 2 + 2 k π → p o n t o   d e   m á x i m o

E, caso:

s e n x = - 1 → f ' ' x > 0

x = 3 π 2 + 2 k π → p o n t o   d e   m í n i m o

Já se tivermos:

t g x = 1

s e n x = c o s ⁡ ( x )

Daí:

f ' ' x = - 2 s e n ( x )

Podemos ter também dois casos:

s e n x > 0 → f ' ' x < 0

x = π 4 + 2 k π → p o n t o   d e   m á x i m o

E, caso:

s e n x < 0 → f ' ' x > 0

x = 5 π 4 + 2 k π → p o n t o   d e   m í n i m o

Prontinhooo!

Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, até a próxima 😉

Resposta

x = π 2 + 2 k π → p o n t o   d e   m á x i m o

x = 3 π 2 + 2 k π → p o n t o   d e   m í n i m o

x = π 4 + 2 k π → p o n t o   d e   m á x i m o

x = 5 π 4 + 2 k π → p o n t o   d e   m í n i m o

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)