Exercícios Resolvidos de Máximos e Mínimos

UFRJ, Cálculo 1, P1 - 2017.1, Questão ME5

5) A função f x = 7 x 2 - x 4 possui:

  1. 2 máximos locais e 1 mínimo local.
  2. 1 máximo local e 1 mínimo local.
  3. 2 mínimos locais e 2 máximos locais.
  4. 3 máximos locais e 1 mínimo local.

Passo 1

Para verificar pontos de máximos ou mínimos, vamos encontrar primeiro os pontos críticos da função f , ou seja, pontos que satisfazem f ' x = 0 ... Derivando então:

f ' x = 14 x - 4 x 3

Igualando a 0 ...

14 x - 4 x 3 = 0               x 14 - 4 x 2 = 0

Então...

x 1 = 0

ou

14 - 4 x 2 = 0             4 x 2 = 14                   x 2 = 7 2        

x = ± 7 2                     x 2 = 7 2 x 3 = - 7 2

Então temos três pontos críticos. Para verificar o que eles são, façamos o estudo de sinal da primeira derivada...

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

f ' x = 14 x - 4 x 3 = x 14 - 4 x 2

Para o estudo de sinal dela, chamamos g x = x e h x = 14 - 4 x 2 , e analisemos o sinal de cada uma dessas funções...

Os produtos desses sinais nos dão o sinal de f ' x ...

Como de - , - 7 2   a função f x é crescente devido ao fato de f ' x > 0 e de - 7 2 ,   0 a função f x é decrescente, o ponto...

x = - 7 2           m á x i m o   l o c a l

Como de 0 ,   7 2 a função é crescente, isso faz de x = 0 um ponto de mínimo...

x = 0       m í n i m o   l o c a l

E de 7 2 , +   , a função volta a decrescer, fazendo de...

x = 7 2         m á x i m o   l o c a l

Resposta

  1. 2 máximos locais e 1 mínimo local.

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