5) A função f x = 7 x 2 - x 4 possui:

  1. 2 máximos locais e 1 mínimo local.
  2. 1 máximo local e 1 mínimo local.
  3. 2 mínimos locais e 2 máximos locais.
  4. 3 máximos locais e 1 mínimo local.

Passo 1

Para verificar pontos de máximos ou mínimos, vamos encontrar primeiro os pontos críticos da função f , ou seja, pontos que satisfazem f ' x = 0 ... Derivando então:

f ' x = 14 x - 4 x 3

Igualando a 0 ...

14 x - 4 x 3 = 0     →           x 14 - 4 x 2 = 0

Então...

x 1 = 0

ou

14 - 4 x 2 = 0     →         4 x 2 = 14         →           x 2 = 7 2         →

x = ± 7 2         →             x 2 = 7 2 x 3 = - 7 2

Então temos três pontos críticos. Para verificar o que eles são, façamos o estudo de sinal da primeira derivada...

Passo 2

f ' x = 14 x - 4 x 3 = x 14 - 4 x 2

Para o estudo de sinal dela, chamamos g x = x e h x = 14 - 4 x 2 , e analisemos o sinal de cada uma dessas funções...

Os produtos desses sinais nos dão o sinal de f ' x ...

Como de - ∞ , - 7 2   a função f x é crescente devido ao fato de f ' x > 0 e de - 7 2 ,   0 a função f x é decrescente, o ponto...

x = - 7 2           m á x i m o   l o c a l

Como de 0 ,   7 2 a função é crescente, isso faz de x = 0 um ponto de mínimo...

x = 0       m í n i m o   l o c a l

E de 7 2 , + ∞   , a função volta a decrescer, fazendo de...

x = 7 2         m á x i m o   l o c a l

Resposta

  1. 2 máximos locais e 1 mínimo local.

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x