Às 9 horas da manhã, um navio B encontra-se a 65   k m a leste de outro navio A . O navio B navega rumo oeste a 10   k m / h , enquanto A navega rumo sul a 15   k m / h . Considerando que os navios mantenham essas direções, determine a menor distância entre os navios e quando essa distância ocorrerá.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a menor distância entre os navios e quando isso ocorrerá. Pra isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos:

d 2 = x - x 0 2 + y - y 0 2

Pra evitar trabalharmos com raízes muito complicadas, vamos minimizar o quadrado da distância, que vamos chamar de D ( t ) . Como a distância do navio B ao navio A é de 65   k m e ele navega a 10   k m / h , temos x = 65 e x 0 = 10 t . O navio A sai da origem e navega a 15   k m / h , então temos y 0 = 0 e y = 15 t .

Substituindo esses valores na equação, vamos derivar e igualar a zero para encontrar a menor distância.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo os valores na equação da distância:

D t = 65 - 10 t 2 + 15 t 2

Expandindo a expressão:

D t = 325 t 2 - 1300 t + 4225

Igualando a zero:

325 t 2 - 1300 t + 4225 = 0

Lembra do x do vértice de uma parábola? Ele representa o ponto de máximo ou mínimo de uma função quadrática. Então, podemos usar ele para calcular nosso ponto crítico, que é dado pela fórmula:

x v = - b 2 a

Na nossa equação b = - 1300 e a = 325 , então temos:

x v = - - 1300 2 ∙ ( 325 ) = 2

Logo, a distância máxima ocorrerá 2   h depois do ínicio da trajetória, ou seja, às 11   h . Substituindo t = 2 na equação da distância, teremos:

D = 325 ( 2 ) 2 - 1300 ( 2 ) + 4225

D = 2295   m

Que é a nossa distância máxima.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D = 2295   m

11   h

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