Uma indústria farmacêutica está testando o uso combinado de dois princípios ativos para o tratamento de uma doença. Suponha que T ( x ,   y ) seja o tempo

necessário para que a medicação faça efeito, onde

T ( x ,   y )   =   x 3   −   2 x y   −   6 x   +   4 y 2

e x ,   y são as massas em mg de cada princípio ativo. Determine x   e   y para que a

medicação tenha o menor tempo de resposta.

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Dessa vez uma de minimização. De forma direta o enunciado pede para calcular os valores de x   e   y que minimizam

T ( x ,   y )   =   x 3   −   2 x y   −   6 x   +   4 y 2

Ou seja, deriva e iguala a zero

calculando as derivadas parciais temos

d d x T ( x , y ) = 3 x 2 - 2 y - 6

d d y T ( x , y ) = - 2 x + 8 y

Passo 2

Agora, verificamos quando elas são zero, isto é, quando

3 x 2 - 2 y - 6 = 0

- 2 x + 8 y = 0

da segunda equação, temos:

x = 4 y

substituindo na primeira equação:

16 y 2 - 2 y - 6 = 0

que é uma equação do segundo grau, cujas raízes são

y = 1 16 - 97 16

y = 1 16 + 97 16

Logo como

x = 4 y

temos que

x = 1 4 - 97 4

ou

x = 1 4 + 97 4

desses pontos a combinação que minimiza

T ( x ,   y )   =   x 3   −   2 x y   −   6 x   +   4 y 2

É:

x = 1 4 - 97 4

y = 1 16 - 97 16

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

x = 1 4 - 97 4

y = 1 16 - 97 16

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