3) Uma janela tem a forma de um semicírculo encimado por um retângulo. Se o perímetro da janela deve ser de 4   m e t r o s , determine os lados do retângulo que proporcionam área máxima para a janela.

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Para começarmos o desenvolvimento, vamos esboçar a nossa janela:

Assim fica bem mais fácil de visualizar, não é?

Aproveitando, chamaremos o lado do retângulo de l e essa é a dimensão que o exercício pede para encontrarmos.

Vamos resolver esse problema?

Passo 2

Definindo o perímetro:

A região do semicírculo é dada por π r (metade de 2 π r , o perímetro total da circunferência).

A base do retângulo mede 2 r .

As laterais somam 2 l .

Então:

π r + 2 r + 2 l = 4

Esse é o nosso perímetro.

Podemos aproveitar esse momento para isolarmos l :

2 l = 4 - π r - 2 r

l = 4 - π r - 2 r 2

Passo 3

Como o enunciado envolve a área máxima, vamos definir a área da nossa janela.

Área do semicírculo: π r 2 2

Área do retângulo: 2 r * l

Então:

A = π r 2 2 + 2 r * l

Como conhecemos l , vamos substituir:

A = π r 2 2 + 2 r * 4 - π r - 2 r 2

A = π r 2 2 + 4 r - π r 2 - 2 r 2

A = 4 r - π r 2 2 - 2 r 2

A = - π 2 - 2 r 2 + 4 r

Passo 4

Finalmente chegamos no que o enunciado nos pede. Para maximizarmos a área, vamos derivar e igualar a zero.

Sabemos que será um ponto de máxima por se tratar de uma equação do segundo grau com coeficiente que acompanha o termo quadrado negativo, e automaticamente com a concavidade para baixo. Logo, teremos um ponto de máximo.

Derivando:

A ' = 2 - π 2 - 2 r + 4

A ' = - π - 4 r + 4

Igualando a zero:

- π - 4 r + 4 = 0

- π - 4 r = - 4

r = 4 7,14

r = 0,56

Passo 5

Bacana, encontramos r ! Mas ainda não acabamos...

Vamos aplicar r na função do perímetro:

π r + 2 r + 2 l = 4

1,76 + 1,12 + 2 l = 4

2 l = 4 - 2,88

2 l = 1,12

l = 0,56   m

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

l = 0,56   m

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)