Um dos lados de um campo retangular é limitado por um trecho de rio em linha reta. Deseja-se

cercar o campo com um fio de comprimento L . Determine as dimensões do campo sabendo que a área é a maior possível.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar as dimensões da maior área possível do campo que vai ser cercado com um fio de comprimento L . Pra isso, vamos chamar de x a largura do campo e de y seu comprimento. Assim, pela fórmula de área do retângulo, temos:

A = x y

Além disso, como um dos lados é cercado pelo trecho do rio, nós vamos precisar cobrir com o fio L apenas 3 lados do campo retangular. Assim, o perímetro desses três lados será dado por:

2 x + y = L

Então, vamos isolar y nessa equação e substituir na expressão da área A . Em seguida, vamos derivar a expressão obtida e igualar o resultado a zero para encontrar os pontos cr��ticos da função. Por fim, vamos conferir, pelo teste da segunda derivada, se esses pontos encontrados são pontos de máximo ou de mínimo.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar isolando y na expressão do perímetro:

y = L - 2 x

Substituindo isso na equação da área, A = x y , temos:

A = x ( L - 2 x )

A = L x - 2 x 2

Passo 3

Derivando a equação da área, vamos obter:

A ' x = L - 4 x

Igualando esse resultado a zero:

L - 4 x = 0

x = L 4

Esse é o valor crítico da função. Vamos agora verificar se esse é um ponto de máximo ou de mínimo, usando o teste da segunda derivada.

Passo 4

Derivando mais uma vez, temos:

A ' ' x = - 4

Como A ' ' ( x ) é sempre negativo, pelo teste da segunda derivada, x = L 4 é de fato um máximo da função. Então, vamos substituir esse valor em y = L - 2 x para encontrar o valor de y :

y = L - 2 L 4

y = L - L 2 = L 2

Portanto, as dimensões máximas do campo, que serão cercadas com o fio de comprimento L , é x = L 4 e y = L 2 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x = L 4 ,     y = L 2

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