Localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das funções nos intervalos dados:

f x = x 5 5 - x 3 3 + 2 ,     x   ∈ - 2,2

Passo 1

Entender o que o enunciado pede

O truque pra essa questão vai estar sempre na inclinação da reta tangente, beleza? Se a inclinação for nula, temos um ponto de máximo, mínimo ou de inflexão. Como a primeira derivada nos fornece essa inclinação, vamos derivar:

f x = x 5 5 - x 3 3 + 2

f ' x = x 5 5 - x 3 3 + 2 '

f ' x = x 4 - x 2

Mas não para por ai. Ao fazermos f ' x = 0 , podemos encontrar valores de x fora do intervalo do enunciado! Então cuidado que esses a gente vai ter que retirar. E mais cuidado ainda porque as extremidades do intervalo podem ser importantes. Vamo que vamo então:

Passo 2

Encontrar raízes de f ' x e excluir as fora do intervalo

Agora, vamos dar uma olhada nas raízes da primeira derivada. Se a raiz é quando a função zera, então vamos ter:

f ' x = x 4 - x 2 = 0

Se chamarmos x 2 = u   ; x = ± u , vamos ter:

f ' u = u 2 - u = 0

E logo:

u = 1 ± - 1 2 - 4.1 . 0 2.1

u = 1 ± 1 2

u = 1   e   u = 0

Mas voltando para x , ficamos com:

x = - 1   ;   x = 1   ;   x = 0

Nenhuma das raízes está fora do intervalo - 2,2 , então podemos checar tanto f - 1 quanto f 1 e f 0 . Dá uma olhada:

f - 1 = - 1 5 5 - - 1 3 3 + 2 ≅ 2,13

f 1 = 1 5 5 - 1 3 3 + 2 ≅ 1,87

f 0 = x 5 5 - x 3 3 + 2 = 2

Disso, tiramos dois pontos críticos de f x , que são:

- 1 ; 2,13

1 ; 1,87

0 ; 2

Passo 3

Testar as extremidades

As extremidades tem que ser consideradas também. Se esquecermos delas pode dar ruim na prova, e ninguém quer isso né? Então vamos lá:

f - 2 = - 2 5 5 - - 2 3 3 + 2 ≅ - 1,73

f 2 = 2 5 5 - 2 3 3 + 2 ≅ 5,73

Em forma de ponto, temos:

- 2 ; - 1,73

2 ; 5,73

Olhando pros pontos obtidos no passo anterior, temos:

1 ; 2,13

1 ; 1,87

0 ; 2

- 2 ; - 1,73

2 ; 5,73

O maior valor de f x entre esses 5 pontos é 5,73 , e o menor é - 1,73 . Então as extremidades do intervalo tem os valores extremos absolutos, mesmo que tenham 3 pontos críticos dentro do mesmo.

Resposta

- 2 ; - 1,73

2 ; 5,73

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x