Mostre que a curva y = 1 + x 1 + x 2 tem três pontos de inflexão e que todos ficam sobre uma mesma reta.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para mostrar que a curva y = 1 + x 1 + x 2 tem três pontos de inflexão e que todos ficam sobre uma mesma reta.

Mas e aí? Como podemos fazer isso?

Uma forma é encontrar a segunda derivada e igualar a zero para achar o ponto de inflexão.

A partir disso, vamos chamar os três pontos de inflexão de a ,   b e c .

Por fim, para provar que os pontos se localizam na mesma reta, basta fazer:

f c - f a c - a = f c - f b c - b

Bora lá!!

Passo 2

Bom... seja a função y :

y = 1 + x 1 + x 2

Fazendo a primeira derivada pela regra da divisão, encontramos:

y ' = 1 + x 2 - 2 x 1 + x 2 2

Fazendo a segunda derivada, também pela regra da divisão, temos:

y ' ' = 2 x - 1 x 2 + 4 x + 1 1 + x 2 3

Passo 3

Agora, fazendo y ' ' x = 0 , temos:

2 x - 1 x 2 + 4 x + 1 1 + x 2 3 = 0 ∴

x = 1

x = - 2 ± 3

Logo, temos os pontos:

a = 1

b = - 2 + 3

c = - 2 - 3

Passo 4

Assim, diante desses pontos podemos encontrar:

f a = f 1 = 1 + 1 1 + 1 2 = 1

f b = f - 2 + 3 = 1 + 3 4

f c = f - 2 - 3 = 1 - 3 4

Passo 5

Por fim, provando que os pontos estão numa mesma reta, temos:

f c - f a c - a = f c - f b c - b ∴

1 - 3 4 - 1 - 2 - 3 - 1 = 1 - 3 4 - 1 - 3 4 - 2 - 3 - - 2 + 3 ∴

1 4 = 1 4

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

No texto

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Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)