Mostre que a função f x = ln ⁡ x x tem um máximo absoluto em x = e . Usando agora o fato de que f e > f π e que a função x → e x é crescente, conclua que π e < e π

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Bora responder Aí essa questão?

Temos a função:

f x = ln ⁡ x x

O enunciado nos dá algumas outras informações e pede pra gente fazer uma demonstração. Então vamos ver o que a gente sabe?

A gente sabe que o máximo fica em x = e e que f e > f π .

E sabemos que para achar o ponto no qual há o máximo de uma função, basta derivarmos a função e igualá-la à zero. Isto é, deste forma encontramos o ponto x onde f x é máxima.

Mas essa função é formada pela divisão de uma função por outra, ou seja, um quociente. Então pra derivar, vamos usar a regra do quociente., assim:

Façamos u x = ln ⁡ x e v x = x , assim:

d d x ln ⁡ x x = d d x u x g x

Assim. Usando a regra da cadeiado quociente:

d d x u x v x = v d u d x - u d v d x v 2

Logo:

d u d x = d d x ln ⁡ x = 1 x

d v d x = d d x x = 1

Portanto:

d d x f x = 1 - ln ⁡ x x 2

Agora igualando a 0

1 - ln ⁡ x = 0

ln ⁡ x = 1

e ln ⁡ x = e

x = e

Assim provamos que x = e é o ponto máximo da função

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim, se aplicarmos x = e na função f ( x ) obtemos o máximo da função, pois é uma função crescente, e que não há outros máximo local, nem global. Sendo:

f e = ln ⁡ e e = 1 e

Assim o ápice da função, isto é, seu máximo, é no ponto em y = 1 e

Passo 3

Logo, qualquer 1 x é menor que 1 e nessa função, assim:

ln ⁡ x x < ln ⁡ e e

Logo:

e ln ⁡ x < x ln ⁡ e

ln ⁡ x e < ln ⁡ e x

x e < e x

Assim provamos que qualquer x nos corresponde essa inequação. Façamos por exemplo x = π

π e < e π

Essa função de deve estar se sentimento o máximo né hashuahashua

Resposta

A prova está no passo 3.

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da função f x = 5 x 2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da função f x = x 3 + x 2 - x