15. Mostre que x = 2 é um ponto crítico da função g x = x 3 - 6 x 2 + 12 x + 5 , mas g não tem um valor extremo local neste ponto.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, temos que provar que x = 2 é um ponto crítico da função g x = x 3 - 6 x 2 + 12 x + 5 mas esse ponto não é um ponto extremo.

E aí, tem ideia do que podemos fazer? 🤔

Para obter os pontos críticos de uma função, a derivamos e igualamos a 0 . Assim, os valores para x que satisfazem essa igualdade são ditos como pontos críticos.

Depois, para classificarmos um ponto, verificamos se g ' x é crescente ou decrescente durante o intervalo ou se g ' x muda de comportamento no ponto crítico.

Bora ver como é! 😁

Passo 2

Derivando g pelo método de derivação polinomial, temos

g ' x = 3 x 3 - 1 - 2 6 x 2 - 1 + 12 x 1 - 1 + 5 0

g ' x = 3 x 2 - 12 x + 12

Igualando a 0 ...

3 x 2 - 12 x + 12 = 0

Por Bhaskara a raiz dessa equação é apenas

x = 2

Nesse caso, se substituirmos x por 1 e por 3 em g ' x , vamos obter que

g ' 1 = 1 3 - 6 1 2 + 12 1 + 5 = 12

g ' 3 = 3 3 - 6 3 2 + 12 3 + 5 = 14

Podemos ver que no intervalo 1,3 , g ' não assume valores negativos... isso significa que g é crescente, fica constante por um momento e volta a crescer. Logo, x = 2 não é um ponto extremo, é apenas um ponto de inflexão.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

x = 2 é um ponto de inflexão.

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)