Mostre que x = 5 é um ponto crítico da função g x = 2 + x - 5 n , com n ∈ N . É verdade que esta função tem um ponto máximo ou mínimo em x = 5 ? Explique!

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para mostrarmos que = 5 é um ponto crítico da função g x = 2 + x - 5 n , com n ∈ N .

Além disso, a questão nos pergunta se esse ponto x = 5 é máximo ou mínimo (ou nenhum dos dois).

Para isso, primeiramente precisamos derivar g x e igualar essa derivada no ponto 5 igual a zero.

Caso g ' 5 = 0 , está provado que x = 5 é um ponto crítico.

Depois vamos analisar direitinho o comportamento de máximos e mínimos.

Quer saber como? Então bora junto!!

😉

Passo 2

Assim, derivando a função g x , temos:

g ' x = n x - 5 n - 1

Fazendo g ' 5 e igualando a zero, temos:

n 5 - 5 n - 1 = 0 ∴

n * 0 n - 1 = 0 ∴

0 = 0

Portanto está provado que x = 5 é um ponto crítico.

Passo 3

Agora, vamos analisar a questão de existência de ponto máximo ou mínimo em x = 5 para a função g ( x ) :

Se n for um número par, o termo x - 5 n será sempre não negativo, resultando em g ( x ) ≥ 2 para todos os valores de x .

Nesse caso, a função não terá ponto máximo ou mínimo em x = 5 , pois não há variação de sinal na vizinhança de x = 5 .

Por outro lado, se n for um número ímpar, o termo x - 5 n poderá ser positivo ou negativo, dependendo do valor de x em relação a 5 .

No entanto, observe que o termo 2 na função g ( x ) faz com que a função tenha um deslocamento vertical para cima, o que significa que o ponto crítico x = 5 não será nem ponto máximo nem ponto mínimo, mas sim um ponto de inflexão, onde a concavidade da função muda.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Não há pontos de máximo ou mínio em x = 5

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