Qual o ponto do plano x   +   2 y   -   z   +   4   =   0 que está mais próximo do ponto ( 1 ,   1 ,   1 ) ?

Passo 1

O problema fornece um ponto ( 1 ,   1 ,   1 ) e um plano x + 2 y - z + 4 = 0 e devemos encontrar a menor distancia entre o ponto e o plano. E para isso devemos achar o ponto P = ( x , y , z ) do plano cuja distância até ( 1,1 , 1 ) seja a menor possível.

Como esse ponto a ser encontrado pertence ao plano, ele deve satisfazer

x = z - 2 y - 4

Assim

P = z - 2 y - 4 , y , z

A distancia entre o plano e o ponto ( 1,1 , 1 ) é dada por

d 2 = z - 2 y - 4 - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2

Desenvolvendo, iremos encontrar

d 2 = 2 z 2 - 4 z y - 12 z + 5 y 2 + 18 y + 27 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 - 2 z + 1

d 2 = 3 z 2 - 4 z y - 14 z + 6 y 2 + 16 y + 29

Dessa forma teremos que encontrar z   e   y que minimizem a função acima.

Passo 2

Os primeiros passos é encontrar os pontos críticos de f. Tomando o gradiente

∇ f y , z = - 4 z + 12 y + 16,6 z - 4 y - 14

Fazendo ∇ f = 0

{ - 4 z + 12 y + 16 = 0   6 z - 4 y - 14 = 0  

Da primeira equação tiramos

y = 4 z - 16 12

Substituindo na segunda

6 z - 4 4 z - 16 12 = 0

6 z - 4 z - 16 3 = 0

z = - 8 7

Assim

y = 4 - 8 7 - 16 12

y = - 12 7

Então agora temos os nossos pontos críticos.

Passo 3

Agora é hora de encontrar o ponto pedido, com o valor de x

x = - 8 7 - 2 - 12 7 - 4

x = - 56 45

Resposta

( - 56 45 , - 12 7 , - 8 7 )

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