Prove o Teorema de Ana Lin: seja f : a , b → R uma função contínua em [ a , b ] e diferenciável em ( a , b ) . Seja c ∈ ( a , b ) o único ponto crítico de f ( x ) nesse intervalo e suponha que a função tenha um mínimo local em x = c . Então a função tem um mínimo global em x = c .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem?

Nessa questão precisamos provar o teorema de Ana Lin.

Mas, antes de tudo, vamos entender melhor o que ele está dizendo.

Pra começar as hipóteses, temos uma função:

f : a , b → R

Ou seja, é uma função cujo domínio é válido apenas no intervalo fechado [ a , b ] e cujo contradomínio vai nos reais.

Além disso, ela é contínua em todo o seu domínio e diferenciável em ( a , b ) . Ou seja, diferenciável no domínio exceto pelos extremos a e b .

Essa função possui apenas um ponto crítico, que ocorre em x = c (um ponto de mínimo local).

Essas são as hipóteses do teorema. Se tudo isso for verdade, o teorema nos garante que:

x = c

É um mínimo global.

Conseguiram sacar melhor a ideia do teorema agora?

Pois então, pra prová-lo vamos tentar chegar num absurdo partindo de que existe um mínimo global em x = d ≠ c .

Passo 2

Bom, vamos supor que seja verdade que, para a função que atende todas as hipóteses comentadas no passo anterior:

x = d

Seja ponto de mínimo global.

Se ele é um ponto de mínimo global, então só temos duas possibilidades:

1 )   x = d é ponto crítico;

2) x = d é ponto extremo ;

A primeira possibilidade claramente é um absurdo, pois uma das hipóteses do teorema é que x = c é o único ponto crítico.

Vamos analisar com mais calma a possibilidade 2 , isto é, será que x = d pode ser um ponto extremo da função?

Bom, se x = d é ponto extremo e também um mínimo global, então:

f d < f ( c )

Assim, como a nossa função é contínua, há uma parte da curva f x que liga esses dois pontos.

Se todos os pontos dessa curva obedecerem:

d < x < c

⇒ f d < f x < f c

Então, teríamos um absurdo. Pois, se todos os pontos de uma das laterais de c são menores do que ele, c não seria um ponto crítico, muito menos um ponto de mínimo.

Assim, deve haver x , tal que:

d < x < c

f x > f ( c )

Então, entre c e d , a função f obrigatoriamente precisaria atingir um valor máximo. Nesse caso, teríamos mais um ponto crítico em nossa função, mas uma das nossas hipóteses do teorema é que c é o único ponto crítico.

Logo, também chegaríamos em um absurdo.

Sendo assim, concluímos que é um absurdo imaginar que pode existir um mínimo global em um ponto extremo.

Portanto, como nossas duas possibilidades de ponto de mínimo global foram provadas ser absurdas, concluímos que x = c é ponto de mínimo global.

E aí galera, entenderam direitinho?

Obrigado pela atenção de todos e até a próxima 😉

Resposta

Resposta no texto.

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