4) Se um resistor de R   o h m s estiver ligado a uma pilha de E volts com resistência interna r ohms, então a potência (em watts) no resistor externo é

P = E 2 R R + r 2

Se E e r forem fixados, mas R variar, qual é o valor máximo da potência.

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse exercício nos pede para encontrarmos a potência máxima, respeitando a função P . O que isso significa? Significa que precisamos encontrar o ponto de máxima dessa função. Um método muito útil para realizarmos esse cálculo é o Critério da Primeira Derivada.

Esse critério consiste em:

Seja f uma função derivável sobre um conjunto S , possuindo um ponto crítico x = c no interior de S , insto é, f ' c = 0 , será ponto de máximo caso a derivada seja positiva à esquerda de c e negativa à direita de c .

Ou seja, faremos a derivada da função P e colocaremos ela igual a 0 . Como não temos valores, não poderemos checar as regiões à esquerda e à direita, mas poderemos considerar que esse ponto encontrado seja a potência máxima!

Então vamos nessa!

Passo 2

A partir desse passo, vamos derivar a função P , utilizando R como variável:

P = E 2 R R + r 2

Como há uma fração, precisamos utilizar a regra do quociente:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

No nosso caso:

f = E 2 R

f ' = E 2

g = R + r 2

Para calcularmos g ' , precisamos utilizar a regra da cadeia (função composta):

2 * R + r * 1

Então:

g ' = 2 ( R + r )

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:

E 2 * R + r 2 - E 2 R * 2 ( R + r ) R + r 2 2

E 2 R 2 + 2 R r + r 2 - 2 E 2 R 2 - 2 E 2 R r R + r 4

E 2 R 2 + 2 E 2 R r + E 2 r 2 - 2 E 2 R 2 - 2 E 2 R r R + r 4

Temos algumas simplificações:

E 2 r 2 - E 2 R 2 R + r 4

E 2 r 2 - R 2 R + r 4

E 2 r + R r - R R + r 4

Finalmente:

P ' = E 2 r - R R + r 3

Passo 4

Outro fato que devemos considerar é que a Potência no resistor será máxima quando a resistência externa for igual a resistência interna, ou seja:

R = r

Vamos aplicar isso em P !

E 2 ( r ) r + r 2

Isso pode ser simplificado para:

E 2 r 4 ( r 2 )

E 2 4 r

Mais uma vez, como R = r , a potência máxima será em:

E 2 4 R

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

E 2 4 R

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