Um retângulo deve ser inscrito na elipse x 2 4 + y 2 = 1 . Quais devem ser as dimensões do retângulo, para que sua área seja máxima?

Passo 1

Faaala aí pessoal, tudo bem?

Temos aqui uma questão de otimização. Queremos inscrever um retângulo na elipse:

x 2 4 + y 2 = 1

Lembra que a forma geral da elipse é:

x - x 0 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Onde ( x 0 , y 0 ) é o centro da elipse.

Comparando com a elipse da questão, concluímos que ela está centrada em ( 0,0 ) , com semieixos valendo 2 e 1 respectivamente.

O enunciado nos pede para encontrar as dimensões do retângulo que tornam a sua área máxima.

Para descobrir a área máxima do retângulo que pode ser inscrito nessa elipse, vamos primeiro buscar encontrar uma expressão para a área desse retângulo em função apenas de x ou y .E, depois derivamos e igualamos a zero, para otimizar a solução.

Bora nessa!!

Passo 2

Vamos imaginar que inscrevemos um retângulo qualquer nessa elipse:

Algo muito importante de perceber é que devido a simetria da elipse qualquer retângulo inscrito nela também será simétrico em relação a origem.

Assim, a área de um retângulo inscrito nessa elipse é dada por:

A R = 2 x ⋅ 2 y

Onde ( 2 x ) é a base do retângulo e ( 2 y ) é a altura.

Mas, da equação da elipse, temos que:

x 2 4 + y 2 = 1

∴ y = 1 - x 2 4

Logo:

A R = 4 x ⋅ 1 - x 2 4

Perfeito! Agora que descobrimos a área do retângulo em função apenas de x , vamos derivá-la e igualar a zero, para otimizá-la.

Passo 3

Derivando e igualando a zero, encontraremos os pontos de máximo e mínimo dessa função. Estamos interessados em saber o ponto de máximo para obter a área máxima.

d 4 x ⋅ 1 - x 2 4 d x = 0

Como temos um produto de funções, precisamos usar a regra do produto.

Assim:

d 4 x ⋅ 1 - x 2 4 d x = 4 x ' ⋅ 1 - x 2 4 + 4 x ⋅ 1 - x 2 4 '

Vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente:

x ' = 1

Já a derivada do segundo termo é um pouquinho mais complicada. Precisaremos usar a regra da cadeia.

Daí, fazendo:

1 - x 2 4 = u

Temos:

1 - x 2 4 ' = d u d u ⋅ 1 - x 2 4 d x

Então:

⇒ d u d u = 1 2 u - 1 2 = 1 2 1 - x 2 4

Já a segunda derivada:

1 - x 2 4 d x = - 2 x 4 = - 1 2 x

Juntando tudo:

1 - x 2 4 ' =   1 2 1 - x 2 4 ⋅ - x 2

= - x 4 1 - x 2 4  

Muito bom!

Assim, vamos ter que:

d 4 x ⋅ 1 - x 2 4 d x = 4 1 - x 2 4 + 4 x ⋅ - x 4 1 - x 2 4

= 4 ⋅ 1 - x 2 4 - x 2 1 - x 2 4

= 4 - x 2 - x 2 1 - x 2 4

Logo, temos:

d 4 x ⋅ 1 - x 2 4 d x = 4 - 2 x 2 1 - x 2 4 = 0

Para que essa expressão seja nula, precisamos ter:

4 - 2 x 2 = 0

∴ x 2 = 2

x = 2  

Perfeito! Esse é um ponto de máximo ou mínimo da função. Para verificar que, de fato é um ponto de máximo, podemos olhar para a expressão da derivada de A R :

A R ' = 4 - 2 x 2 1 - x 2 4  

Se x < 2 , temos A R > 0 .

Se x > 2 , temos A R < 0 .

Ou seja, x = 2 é um ponto em que a função para de crescer e começa a decrescer. Logo, x = 2 de fato é um ponto de máximo.

Passo 4

Agora que já obtemos o valor de x que dá a área máxima do retângulo, para descobrir a dimensão y correspondente basta usarmos que:

y = 1 - x 2 4

Assim:

y = 1 - ( 2 ) 2 4

= 1 - 2 4

= 1 2

Portanto:

y = 2 2

Ou seja, as dimensões ( x , y ) que dão a área máxima do retângulo inscrito na elipse, vale:

x , y = 2 , 2 2

É isso aí genteee! Muito obrigado pela atenção, até a próxima 😊

Resposta

x , y = 2 , 2 2

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