Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio a   >   0 . Qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais são as suas dimensões?

Passo 1

E aii, galerinha!! Como estão? Vamos juntos pra mais uma!!

Vamos primeiro imaginar a situação que temos, um retângulo será inscrito em uma semicircunferência de raio a   >   0 . E a questão deseja saber qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais são as suas dimensões. Temos a seguinte situação:

E aí? Como poderemos resolver??

Passo 2

Bom primeiro vamos começar aplicando o teorema de Pitágoras para triângulo retângulo, assim vamos poder relacionar as dimensões do retângulo ao raio da semicircunferência .

a ²   =   x ² + y ²

E sabemos que a área de um retângulo é dado por:

A   = b h

Como nosso retângulo deve ter área máxima, logo ele deve estar posicionado no meio da semicircunferência, assim a base do retângulo será 2 x de acordo com a ilustração do passo anterior. Dessa forma, conclui-se que a área será:

A ( x , y )   =   2 x y

Como y   =   a ² - x ² ,

A ( x , y ) = 2 x a ² - x ²   , sendo 0   <   x < a

Passo 3

Como estamos atrás do valor máximo da área do retângulo, vamos derivar a equação da área, uma vez que é no assunto de derivadas que vemos as ideias de máximos e mínimos de uma função.

A ( x , y )   = 2 x a ² - x ²  

A ' ( x , y )   = ( 2 x a ² - x ² ) '  

Aplicando a regra da cadeia temos,

A ' ( x , y ) =   2 ( x ' a ² - x ² + ( a ² - x ² ) ' x

A ' ( x , y )   =   2 ( a ² - x ² +   ( - x a ² - x ² ) x   =   2 ( - 2 x ² + a ² ) a ² - x ²

Passo 4

Agora é importante lembrar que quando temos pontos de máximos e mínimos em nossas funções as derivadas nesses pontos são iguais a 0. Portanto para a área ser máxima A ' ( x , y )   =   0 .

A ' ( x , y ) = 2 ( - 2 x ² + a ² ) a ² - x ² =   0

Como temos certeza que o a ² - x ² > 0   , já que 0   <   x <   a . Podemos afirmar que essa equação 2 ( - 2 x ² + a ² ) a ² - x ² é igual a zero apenas se o numerador for igual a zero. Logo,

- 4 x ² + 2 a ²   =   0

- 2 x ²   + a ²   =   0

x   =   a 2   o u   x =   - a 2

Entretanto x   >   0 . Desse modo x só poderá ser   a 2 .

→ Como y   =   a ² - x ² então,

y   =   2 x ² - x ²     =   x =   a 2

Logo,

→ A base do retângulo é 2 x   =   2 a 2 = a 2  

→ E a altura do retângulo é y   =   a 2  

Passo 5

Agora seus linduxos, temos tudo que precisamos para calcular a área máxima, tendo em vista que já encontramos as dimensões do nosso retângulo. Sendo assim,

A   =   b h =   2 x y =   2   a 2   a 2 = a ²  

E aí? Espero ter te ajudado!

Bora terminar de resolver essa lista para garantir um 10 em cálculo I?!

:)

Resposta

A área máxima é a ² e o retângulo possui a 2 de base e a 2 de altura.

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