Se a e b são inteiros positivos, encontre o valor máximo na função f x = x a 1 - x b

Passo 1

Para encontrar o valor máximo da função f x = x a 1 - x b , onde a e b são inteiros positivos, podemos usar técnicas de cálculo.

Primeiro, vamos derivar a função em relação a x e encontrar onde a derivada é igual a zero para identificar possíveis pontos críticos.

Em seguida, vamos analisar os valores da função nos extremos do intervalo [0,1]

Passo 1: Derivada da função f ( x )

Primeiro, vamos calcular a derivada da função em relação a x  

f x = a ⋅ x a - 1 1 - x b - b ⋅ x a 1 - x b - 1

Passo 2

Passo 2: Encontrar pontos críticos

Agora, vamos igualar a derivada a zero e resolver para x   para encontrar os possíveis pontos críticos:

a ⋅ x a - 1 1 - x b - b ⋅ x a 1 - x b - 1 = 0

Simplificando a equação acima, temos:

a   1   -   x = b x

  a   -   a   x   =   b   x

x = a a + b

Passo 3

Passo 3: Avaliar valores nos extremos do intervalo

Agora, vamos avaliar os valores da função nos extremos do intervalo [ 0,1 ] ou seja, em x = 0   e   x = 1

f 0 =   0 a 1   -   0 b = 0

f 1 = 1 a   1   -   1 b   =   0

Portanto, os únicos pontos críticos são x = a a + b , e os valores nos extremos do intervalo são ambos igual a 0.

Passo 4

Passo 4: Comparação dos valores

Agora, precisamos comparar os valores da função nos pontos críticos e nos extremos para determinar o valor máximo:

f a a + b = a a + b a 1 - a a + b b

Se a e b forem ambos maiores que zero, então a a + b   estará no intervalo 0,1 ,   e como x está no intervalo 0,1 , 1 - x também está no intervalo ( 0,1 ) .

Isso significa que ambos os termos no produto

a a + b a   e   1 - a a + b b

Portanto, f   a a + b é positivo e maior do que os valores nos extremos do intervalo.

Conclusão:

O valor máximo da função f x = x a 1 - x b ocorre em a a + b e é igual a

a a + b a 1 - a a + b b

Resposta

Vide o passo a passo.

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