1 . Seja f x = - x - 5 5 - x + 555 . Considere as seguintes afirmações:

( I ) A função f ( x ) não tem um mínimo nem um máximo local em 5 .

( I I ) A curva y = f ( x ) tem um ponto de inflexão em ( 5 ,   555 )

( I I I ) f ' ' ( 5 ) não existe.

I V A função f ( x ) é crescente em ( - ∞ ,   ∞ ) .

Sobre as afirmações acima, podemos concluir que

A : ( I ) e ( I I ) são verdadeiras e ( I I I ) e ( I V ) são falsas.

B : I I ,   ( I I I ) e ( I V ) são verdadeiras e ( I ) é falsa.

C : I ,   ( I I I ) e ( I V ) são verdadeiras e ( I I ) é falsa.

D : I ,   ( I I I ) e ( I V ) são verdadeiras e ( I I ) é falsa.

E : As quatro afirmações são verdadeiras.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão juntos!

A função que o enunciado nos deu é a seguinte:

f x = - x - 5 5 - x + 555

Ela tem um módulo nela então, vamos escrever essa função de outra forma para tirarmos esse módulo, para isso vamos usar a definição de módulo, onde temos:

f x = x = x ,       s e   x > 0 x = - x ,       s e   x < 0

Usando isso na nossa função temos que:

f x = - x - 5 5 - x + 555 ,       s e   x ≥ 5 - - x - 5 5 - x + 555 ,       s e   x < 5

⇒ f x = x - 5 2 + 555 ,       s e   x ≥ 5 - x - 5 2 + 555 ,       s e   x < 5

Nesse problema, vamos ter que pegar a função que o enunciado nos deu e derivar ela até a segunda derivada e analisar cada afirmação e ver se é verdadeira ou falsa.

Então vamos analisar cada afirmação separadamente e ver o que podemos fazer para saber se a afirmação é verdadeira ou falsa.

Vamos nessa então!

Passo 2

Começando com a afirmação ( I ) .

Para saber se a função tem mínimo ou máximo em um ponto temos que derivar a função e igualar a zero e achar o ponto onde isso é verdade, depois temos que derivar a função mais uma vez e ver se a segunda derivada é positiva, negativa ou se não existe nesse ponto.

Derivando a função que reescrevemos no passo 1 , temos:

f ' x = 2 x - 5 ,       s e   x > 5 - 2 x - 5 ,       s e   x < 5

Olhando essa derivada da função f ( x ) , vemos que ela só é definida para x diferente 5 , que é o único ponto que iria fazer essa função ser zero, logo não temos máximos e nem mínimos locais.

Então a afirmativa ( I ) é verdadeira.

Passo 3

Agora vamos ver a ( I I ) . Agora temos que ver se em x = 5 a gente tem um ponto de inflexão.

Para a gente conseguir ver isso, vamos derivar f ( x ) duas vezes, a primeira derivada a gente já fez, vamos então derivar ela mais uma vez, temos:

f ' ' x = 2 ,       s e   x > 5 - 2 ,       s e   x < 5

Olhando isso que encontramos a gente ver que a segunda derivada muda de sinal de antes para depois de x = 5 , então temos um ponto de inflexão em x = 5 .

A afirmativa ( I I ) é verdadeira.

Passo 4

Agora vamos para ( I I I ) .

Essa afirmativa diz que f ' ' ( 5 ) não existe. A gente já calculou f ' ' ( x ) no passo anterior, ela tem essa cara aqui:

f ' ' x = 2 ,       s e   x > 5 - 2 ,       s e   x < 5

Ela não é definida em x = 5 , então ela não existe nesse ponto, então a afirmativa ( I I I ) está certa.

Passo 5

Vamos para a última afirmação, ( I V ) .

Ela diz que a função f ( x ) é crescente em ( - ∞ ,   ∞ ) , para saber se isso é verdade, temos que avaliar o sinal da derivada de f ( x ) nesse intervalo, se ela for positiva em todo esse intervalo a função f ( x ) vai ser crescente.

A derivada de f ( x ) a gente já calculou, temos:

f ' x = 2 x - 5 ,       s e   x > 5 - 2 x - 5 ,       s e   x < 5

No intervalo de ( - ∞ , 5 ) é dada por - 2 ( x - 5 ) e como ela tem esse sinal fora do parênteses, ela faz todos valores que seriam negativos dentro parênteses ficarem positivos.

No intervalo ( 5 , ∞ ) é dada por 2 ( x - 5 ) como estamos em um intervalo onde todos os x possíveis são maiores que 5 o termo dentro do parênteses sempre vai ser positivo.

Então a derivada de f ( x ) é sempre positiva, logo f ( x ) é sempre crescente em ( - ∞ ,   ∞ ) . A afirmativa está certa.

Então a única opção que tem para a gente marcar é a letra E .

Resposta

E : As quatro afirmações são verdadeiras.

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