Seja f ( x )   =   x 5   +   b   x 4   +   c   x 3   -   2 x   +   1 .

  1. Que condições b e c devem satisfazer para que x 0   =   1 seja um ponto de inflexão de f ? Justifique.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos condições b e c devem satisfazer para que x 0   =   1 seja um ponto de inflexão de f ( x )   =   x 5   +   b   x 4   +   c   x 3   -   2 x   +   1 .

Uma forma de fazer é derivar ao máximo que pudermos e depois aplicar a condição dada na questão para prosseguir analisando o ponto de inflexão desejado.

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

Passo 2

Bom... vamos primeiro fazer algumas derivadas:

f x =   x 5   +   b   x 4   +   c   x 3   -   2 x   +   1

f ' x = 5 x 4 + 4 b x 3 + 3 c x 2 - 2 ∴

f ' ' x = 20 x 3 + 12 b x 2 + 6 c x ∴

f 3 x = 60 x 2 + 24 b x + 6 c ∴

f 4 x = 120 x + 24 b ∴

f 5 x = 120

Passo 3

Assim, aplicando x = 1 nas derivadas que encontramos no Passo 2:

f ' ' 1 = 20 1 3 + 12 b 1 2 + 6 c 1 ∴

f ' ' 1 = 20 + 12 b + 6 c

Também

f 3 1 = 60 1 2 + 24 b 1 + 6 c ∴

f 3 x = 60 + 24 b + 6 c

Também

f 4 1 = 120 1 + 24 b ∴

f 4 1 = 120 + 24 b

E, por fim,

f 5 1 = 120

Passo 4

Para que 1 seja ponto de inflexão de f , então:

f ' ' 1 = 0 ∴

20 + 12 b + 6 c = 0 ∴

c = - 2 b - 10 3

E

f 3 1 ≠ 0 ∴

60 + 24 b + 6 c ≠ 0 ∴

60 + 24 b + 6 - 2 b - 10 3 ≠ 0 ∴

b ≠ - 10 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

c = - 2 b - 10 3

b ≠ - 10 3

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