1.6. Seja f x , y , z = x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 x y - 4 z . Determine o máximo e o mínimo de f em:

a. x , y , z ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 4 ;

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos que obter o máximo e mínimo da função f x , y , z = x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 x y - 4 z restrito à curva x 2 + y 2 + z 2 = 4 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando temos que calcular os máximos e mínimos de uma função com alguma restrição é quase certo que temos que aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Dada uma função f e uma restrição g , podemos dizer que

∇ f x , y = λ ∇ g x , y

Assim, obtendo o valor de λ podemos encontrar uma maneira de obter x e y .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o gradiente de f

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 x y - 4 z ∂ x , ∂ x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 x y - 4 z ∂ y , ∂ x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 x y - 4 z ∂ z

∇ f = 2 x - 4 y , 2 y - 4 x , 4 z - 4

Agora o gradiente de g

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z = ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 4 ∂ x , ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 4 ∂ y , ∂ x 2 + y 2 + z 2 - 4 ∂ z

∇ g = 2 x , 2 y , 2 z

Aplicando à fórmula ∇ f x , y = λ ∇ g x , y

2 x - 4 y , 2 y - 4 x , 4 z - 4 = λ 2 x , 2 y , 2 z

2 x - 4 y = λ 2 x 2 y - 4 x = λ 2 y 4 z - 4 = λ 2 z → x - 2 y = λ x y - 2 x = λ y 2 z - 2 = λ z

Isolando λ e igualando as duas primeiras equações

λ = x - 2 y x λ = y - 2 x y λ = 2 z - 2 z

x - 2 y x = y - 2 x y

x - 2 y y = y - 2 x x

x y - 2 y 2 = x y - 2 x 2

x = y

Igualando a segunda com a terceira e aplicando essa igualdade que encontramos

y - 2 y y = 2 z - 2 z → - 1 = 2 z - 2 z

2 z - 2 = - z

z = 2 3

Substituindo essas informações na equação de restrição...

x 2 + y 2 + z 2 = 4 → x 2 + x 2 + 2 3 2 = 4

2 x 2 = 4 - 4 9

x 2 = 16 9

x = ± 4 3

Assim encontramos dois pontos: P 1 = 4 3 , 4 3 , 2 3 e P 2 = - 4 3 , - 4 3 , 2 3

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Isolando z na equação de restrição e substituindo em f ...

x 2 + y 2 + z 2 = 4 → z = ± 4 - x 2 + y 2

Substituindo em f

f x , y = x 2 + y 2 + 2 4 - x 2 + y 2 2 - 4 x y - 4 4 - x 2 + y 2

f x , y = 2 x 2 + 2 4 - 2 x 2 - 4 x 2 - 4 4 - 2 x 2

f x , y = 8 - 6 x 2 - 4 4 - 2 x 2

f x = - 12 x - 8 x 4 - 2 x 2 = 0

x = 0

Dessa forma, como z = ± 4 - x 2 + y 2 e x = y , então

z = ± 4 - 2 x 2 = ± 2

Assim, encontramos mais dois pontos...

P 3 = 0,0 , 2 e P 4 = 0,0 , - 2

Estamos quase lá! 😬

Passo 4

Obtendo o valor de f nos pontos que encontramos, podemos compará-los e verificar qual é máximo e qual é mínimo.

f x , y , z = x 2 + y 2 + 2 z 2 - 4 x y - 4 z

Para P 1 = 4 3 , 4 3 , 2 3

f P 1 = 4 3 2 + 4 3 2 + 2 2 3 2 - 4 4 3 4 3 - 4 2 3 = - 16 3

Para P 2 = - 4 3 , - 4 3 , 2 3

f P 2 = - 4 3 2 + - 4 3 2 + 2 2 3 2 - 4 - 4 3 - 4 3 - 4 2 3 = - 16 3

Para P 3 = 0,0 , 2

f P 3 = 0 2 + 0 2 + 2 2 2 - 4 0 0 - 4 2 = 0

Por último, para P 4 = 0,0 , - 2

f P 3 = 0 2 + 0 2 + 2 - 2 2 - 4 0 0 - 4 - 2 = 16

Portanto o ponto máximo é em P 4 = 0,0 , - 2 e o ponto mínimo é P 1 = 4 3 , 4 3 , 2 3 e P 2 = - 4 3 , - 4 3 , 2 3 .

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

O ponto máximo é em P 4 = 0,0 , - 2 e o ponto mínimo é P 1 = 4 3 , 4 3 , 2 3 e P 2 = - 4 3 , - 4 3 , 2 3 .

Exercícios de Livros Relacionados

O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
Encontre os números críticos da funçãof (x) = 5 x^2 + 4 x
Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado f x = 3 x 2 - 12 x + 5 ,[ 0,3 ]
É dada uma fórmula para a derivada de uma função. Quantos números críticos ela tem? f ' x = 100 cos 2 ⁡ x 10 + x 2 - 1
Encontre os números críticos da funçãoh (p) = (p - 1)/(p^2 + 4)