Seja ABCD um retângulo com diagonal medindo 8 cm. Colamos os lados A D e B C   para obter um cilindro circular, conforme figura abaixo.

Sendo α o ângulo C Â D , determine:

1. o volume do cilindro V α como função exclusivamente de α .

2. todos os pontos críticos de V α .

Passo 1

Bom, inicialmente conseguimos perceber que com a medida da seção DC formaremos o perímetro da circonferencia que fica na passe do cilindro, certo? Então temos

C D = B A = 8 s e n α

Temos ainda que o perímetro da circunferência é dado por 2 π r

Logo

r = 4 s e n θ π

Passo 2

Bom, o volume do cilíndro nos vai ser dado pela área da base (circunferencia) vezes a altura (Lado AD da folha)

V α = π r 2 × A D  

O lado AD nos é dado por

A D = 8 c o s α

Então voltamos para o volume teremos

V α = π r 2 8 c o s α

Lembrando que r já encontrmaos

r = 4 s e n θ π

V α = 128 s e n 2 α c o s α π

Passo 3

Tranquilo então, conseguimos especificar o volume em função de α .

Agora precisamos basicamente encontrr sua derivada e determinarmos quando ela é zero.

V ' α = 128 π 2 s e n α   c o s α c o s α + - s e n α s e n 2 α

V ' α = 128 π 2 s e n α cos 2 ⁡ α - s e n 2 α

Observando essa função percebemos que ela vai zerar onde o seno é zero. Logo, 0 ,   π ,   2 π ,   3 π …

Resposta

V α = 128 s e n 2 α c o s α π

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