20 . Seja f x = - x 2 e 8 / x + 5 . Considere as seguintes afirmações:

( I ) A curva y = f ( x ) não tem assíntotas verticais.

( I I ) A função f ( x ) tem um máximo local, mas não tem um mínimo local.

( I I I ) A função f ( x ) tem um mínimo local, mas não tem um máximo local.

( I V ) O gráfico f ( x ) é côncavo para baixo.

( V ) O gráfico de f ( x ) tem um único ponto de inflexão.

A respeito das afirmações acima, podemos concluir que

A : I ,   ( I I ) e ( I V ) são verdadeiras, ( I I I ) e ( V ) são falsas.

B : ( I I ) e ( V ) são verdadeiras e I ,   ( I I I ) e ( I V ) são falsas.

C : I ,   ( I I I ) e ( V ) são verdadeiras e ( I I ) e ( I V ) são falsas.

D : ( I I I ) e ( I V ) são verdadeiras e I ,   ( I I ) e ( V ) são falsas.

E : ( I I ) e ( I V ) são verdadeiras e I ,   ( I I I ) e ( V ) são falsas.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para uma função ter assíntota vertical o limite dessa função em ponto que faz a função divergi vai para o infinito.

Para sabermos se uma função tem máximos ou mínimos locais temos que primeiro ver se a derivada dessa função zera em algum ponto x .

Caso isso aconteça a gente calcula a segunda derivada da função e avalia o valor dela nesses pontos e ver se ela é negativa é um ponto de máximo e se ela for positiva é um ponto de mínimo.

E se f ' ' < 0 a função é concava para baixo e se f ' ' > 0 a função é concava para cima.

Passo 2

Vamos começar com a afirmação ( I ) .

Vamos fazer o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ - x 2 e 8 x + 5

Quando fazemos x tender a zero pela direita esse limite vai para - ∞ , logo a função tem uma assíntota vertical.

Então a ( I ) é falsa.

Passo 3

Agora vamos para ( I I ) .

Vamos derivar f ( x ) , temos:

f x = - x 2 e 8 / x + 5

⇒ f ' x = ( - x 2 ) ' e 8 / x - x 2 ( e 8 / x ) ' + 0

= - 2 x e 8 / x - x 2 - 8 x 2 e 8 / x

= - 2 x e 8 / x + 8 e 8 / x

Agora vamos igualar a zero, assim:

- 2 x e 8 / x + 8 e 8 / x = 0

⇒ 2 x e 8 / x = 8 e 8 / x

⇒ x = 4

Agora vamos derivar f ' ( x ) , assim:

f ' ' x = - 2 e 8 / x - 2 x - 8 x 2 e 8 / x - 64 x 2 e 8 / x

= - 2 e 8 / x + 16 x e 8 / x - 64 x 2 e 8 / x

Agora vamos fazer x = 4 , assim:

f ' ' 4 = - 2 e 2 + 16 4 e 2 - 64 16 e 2

= - 2 e 2 + 4 e 2 - 4 e 2

Assim:

f ' ' 4 = - 2 e 2

Então como a segunda deriva é negativa, temos um ponto de máximo em x = 4

E como só temos x = 4 que faz a primeira derivada zerar, então só temos esse pico de máximo e nenhum outro pico de máximo ou mínimo.

A afirmação é verdadeira.

Passo 4

Agora vamos para ( I I I ) .

Essa afirmação é falsa, pelo fato de só termos um ponto de máximo na função e nenhum de mínimo.

Passo 5

Vamos ver a afirmação ( I V ) .

Como só temos um ponto de máximo a função é concava para baixo, então a firmação é verdadeira.

Passo 6

Por último vamos ver a ( V ) .

Essa afirmação é falsa pelo fato da ( I V ) ser verdadeira, como a função só é côncavo para baixo ela em nenhum momento é côncava para cima, logo não temos pontos de inflexão em f ( x ) .

Então as únicas que são verdadeiras são ( I I ) e ( I V ) .

Então nossa escolha vai ser a letra E .

Resposta

E : ( I I ) e ( I V ) são verdadeiras e I ,   ( I I I ) e ( V ) são falsas.

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