Seja f x = x 3 - 3 x 2 + 3

  1. Encontre, caso exista, os máximos e mínimos (local e absoluto) de f.
  2. Determine os valores máximos e mínimo de f em [ - 2,3 ] . Em que pontos esses valores são atingidos?

Passo 1

Para encontrar os valores máximos e mínimos f x = x 3 - 3 x 2 + 3   no intervalo [ - 2,3 ] , precisamos avaliar a função nos extremos do intervalo e nos pontos críticos (onde a derivada é igual a zero).

Vamos começar relembrando os pontos críticos da função, que já foram calculados na resposta anterior 1a:

A derivada de f x = x 3 - 3 x 2 + 3 é f ' x = 3 x 2 - 6 x

Igualando f ' ( x ) a zero, encontramos:

Máximo local: ( 0 , 3 )

Mínimo local: ( 2 , - 1 )

Passo 2

Agora, avaliaremos f x nos extremos do intervalo [ - 2,3 ]

Para x = - 2

  f - 2 =   - 2 3 -   3 - 2 2 +   3   =   - 8   -   12   +   3   =   - 17  

Para x   =   3   :

f 3 =   3 3 -   3 3 2 +   3   =   27   -   27   +   3   =   3

Portanto, o valor máximo absoluto de f ( x ) no intervalo [ - 2,3 ] é 3 atingido em ( x = 0 ) e o valor mínimo absoluto é - 17 atingido em   x   =   - 2 .

Resposta

f - 2 = - 17   m i n i m o

f 0 = 3   m á x i m o

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O gráfico da derivada f ' de uma função f está mostrado. (a) Em quais intervalos f é crescente ou decrescente? (b) Em que valores de x a função f tem um mínimo ou máximo local?
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